משפט פיתגורס - הוכחה בעזרת אלגברה והשוואת שטחים

הוכחת משפט פיתגורס בדרך אלגברית

ע"פ משפט פיתגורס במשולש ישר זוית סכוםריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, כלומר:

לפנינו ריבוע גדול המורכב מארבעה משולשים זהים ישרי זוית abc , וריבוע קטן שצלעו היא היתר c כלואבריבוע הגדול עם המשולשים.

שטח כל הריבוע הגדול :

שטח ארבעה משולשים קטנים:

שטח ריבוע קטן:

השוואת שטחים: שטח ריבוע גדול שווה לשטחי ארבעה משולשים וריבוע קטן:   

נפתח ונקבל



קיבלנו כי סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר

משפט פיתגורס - "סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר"

משפט פיתגורס הוא משפט גאומטרי מפורסם, המתאר את היחס בין שלוש צלעותיו של משולש ישר-זווית. המשפט קובע כי "סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר" (הניצבים הם שתי צלעות הזווית הישרה, והיתר הוא הצלע הארוכה של המשולש). או בניסוח פורמלי: אם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם ו-, ואורך היתר הוא , אז: .

דוגמא:
נתון משולש ישר זוית שאורכי ניצביו הם 3, 4, מצא את אורך היתר

אורך היתר c:

אורך היתר c שווה 5.

הוכחת הנשיא גרפילד למשפט פיתגורס

ישנו משולש ישר זוית שניצביו a, b והיתר c.
בונים ממשולש זה וזה לו טרפז ישר זוית ומחשבים את שטחו בשני אופנים.

מצד אחד, הוא שווה ל-  , כיוון ששטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית מסכום
הבסיסים.

מצד שני הוא שווה ל-     כי הוא שווה לסכום שטחם של שני המשולשים האפורים עם
המשולש שביניהם הלבן

מהשוואת שני הביטויים שהתקבלו, המייצגים את אותו השטח, מתקבל משפט פיתגורס.

משולש שווה שוקיים - מציאת השטח ע"פ הצלעות

משולש שווה שוקיים

בגאומטריה, משולש שווה-שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו. הצלעות השוות נקראות "שוקיים" והצלע השלישית נקראת "בסיס"

 בשרטוט להלן הצלעות השוות, שוקיים, מסומנות באות b , הבסיס באות a.


הגובה h במשולש שווה שוקיים יכול להימצא ממשפט פיתגורס:

מכאן ניתן לחשב את שטח המשולש S:

קישורים: 

חוצה זוית במשולש שווה שוקיים הוא תיכון, ומאונך לצלע ממול 
זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.

בעיה פתורה בטריגונומטריה 4 יח' - משולש ישר זוית בתוך טרפז ישר זוית

שאלה בטריגונומטריה 4 יחידות

פתרון

שטח טרפז שווה למכפלת סכום בסיסיו בגובה לחלק לשתיים, כלומר אם בסיסי הטרפז הם a ו- b וגובה הטרפז הוא h אזי שטח הטרפז S = (a + b)*h/2

במקרה של טרפז ישר זוית כמו בסקיצה:
הבסיסים הם הצלעות AD , BC והגובה היא הצלע CD

נחשב את הצלעות AD, CD , BC

מציאת AD - משולש ADM ישר זוית לכן: 

מציאת BC - זוית M1 שווה לזוית (סכום שתיהן וזוית AMD שווה 90 מעלות ולכן הן שוות)


מציאת CD
CD = DM + CM

שטח הטרפז S

מבחן מיצב כיתה ח תשע"ב - תרגילים פתורים שאלה 7 - פתרון משוואה אלגברית מעלה ראשונה נעלם אחד

פתרו את המשוואה שלפניכם, הציגו את דרך הפתרון:



פתרון:

מכפילים את כל הביטויים באגפים ב- 12 מכנסים איברים ומחלצים את x


קישורים:

תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"ב ב'  - שאלות 1-3 , 4

תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א שאלות 1-6,
חלק ב שאלות 7-12, שאלות 13-16 , שאלה 17 ,  שאלה 18 , שאלה 19 , שאלה 20 , שאלה 21 , שאלה 22 , שאלה 23 ,   שאלה 24

תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשס"ח ב - כיתה ח: חלק א, חלק ב

ריבוע - שטח, היקף, אלכסון, מעגל חוסם, ומעגל חסום

ריבוע הוא מרובע שכל צלעותיו שוות זוז לזו וכל זויותיו שוות אחת לשניה.

שטח והיקף הריבוע
נניח כי a היא צלע הריבוע

• שטח  =
• היקף =

אלכסון הריבוע


אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה, ומאונכים זה לזה.
נסמן את אורך אלכסון הריבוע ב- k, ואת אורך צלע הריבוע ב- a , נחשב את אורך האלכסון k.

ע"פ משפט פיתגורס 
נפתח ןנקבל:



רדיוסים המעגלים החוסם והחסום בריבוע

אם נסמן את a כצלע של ריבוע, r כרדיוס של עיגול החסום בריבוע ו- R כרדיוס של עיגול החוסם את ריבוע אזי

• מרכז של שני העיגולים הנ"ל יהיה גם מקום חיתוך אלכסוני הריבוע

• רדיוס של עיגול החסום שווה לחצי צלע של ריבוע

• רדיוס של עיגול החוסם שווה לחצי אלכסון של ריבוע

מבחן מיצב כיתה ח תשע"ב - תרגילים פתורים שאלה 5 - משוואה אלגברית מעלה ראשונה נעלם אחד

שאלה מספר 5
סַמנו את המשוואה שפתרונה הוא: x = 0

פתרון

נפתור את ארבעת המשוואות ובדוק מתי הפתרון x = 0 .

משוואה מספר 1
 3x = 2x +1
3x - 2x = 1
x = 1

משוואה מספר 2
3x + 6 = 6
3x = 6 -6
3x =0
x = 0
משוואה 2 עונה לנתוני השאלה x = 0 ולכן זאת התשובה הנכונה

משוואה מספר 3
4x + 1 = 4x + 9
4x - 4x = 9 -1
0 = 8
קיבלנו ביטוי שקר לכן אין פתרון למשוואה 3 עבור כל ערך x

משוואה מספר 4
2x + 8 = 0
2x = -8
x = -8/2 = -4

כאמור משוואה 2 עונה לנתוני השאלה x = 0 ולכן זאת התשובה הנכונה

קישורים:

תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"ב ב'  - שאלות 1-3 ,
תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א שאלות 1-6,
חלק ב שאלות 7-12, שאלות 13-16 , שאלה 17 ,  שאלה 18 , שאלה 19 , שאלה 20 , שאלה 21 , שאלה 22 , שאלה 23 ,   שאלה 24
תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשס"ח ב - כיתה ח: חלק א, חלק ב

מבחן מיצב כיתה ח תשע"ב - תרגילים פתורים שאלה 4 - פונקציות לינאריות עולות, יורדות, וקבועות

פונקציות לינאריות עולות יורדות וקבועות

פתרון

פונקציות לינאריות עולות, יורדות, וקבועות

הפונקציות המתוארות בשאלה הן פונקציות לינאריות מהסוג  y = ax + b

ישנן שלושה מצבים של הפונקציה ע"פ ערכי a המקדם של x במשוואה :

כאשר a > 0 ככל ש- x גדל אז y גדל לכן הפונקציה עולה
כאשר a < 0 ככל ש- x גדל אז y קטן לכן הפונקציה יורדת
כאשר a = 0 הפונקציה  y = b קבועה וערכה b.

לכן ע"פ השאלה בסעיף 1 הפונקציה y = 2x + 30 - כאן a = 2 , כלומר a > 0 לכן הפונקציה עולה
כמו כן בסעיפים 2,3 :  a < 0 לכן הפונקציות יורדות

בסעיף 4: y = 7 - הפונציה קבועה וערכה 7 לכל ערך של x.

להלן הטבלה עם סימוני X במומות המתאימים

פונקציות לינאריות עולות יורדות וקבועות

קישורים:

תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"ב ב'  - שאלות 1-3 ,
תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א שאלות 1-6,
חלק ב שאלות 7-12, שאלות 13-16 , שאלה 17 ,  שאלה 18 , שאלה 19 , שאלה 20 , שאלה 21 , שאלה 22 , שאלה 23 ,   שאלה 24
תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשס"ח ב - כיתה ח: חלק א, חלק ב