פירוק טרינום לגורמים - דוגמאות פתורות

דוגמא 1

פרק את הטרינום לגורמים


פתרון

נחפש 2 גורמים שסכומם הגורם האמצעי בביטוי לעיל 5x ומכפלתם מכפלת הגורמים הראשון והשלישי בביטוי לעיל

הגורמים המתאימים הם: 2x , 3x

נסיים הפתרון:



דוגמא 2

פרק את הטרינום לגורמים


נחפש 2 גורמים שסכומם b ומכפלתם
 הגורמים המתאימים הם: 3b , 4b-
 

נוסחאות כפל מקוצר - דוגמאות פתורות

נוסחאות כפל מקוצר:



דוגמא 1

פרק לגורמים: 

פתרון:
משתמשים בנוסחה מספר 1:



דוגמא 2:

פשט: 

פתרון




דוגמא 3

פרק לגורמים:

פתרון:

 

משוואה ממעלה ראשונה - תרגיל פתור

פתור את המשוואה



פתרון

נגביל תחילה את תחום ההגדרה של הפתרונות לדוגמא שהמכנים חייבים להיות שונים מ- 0:

 

נפתח את המשוואה ונפתור:
תחילה נכפול את כל אגפי המשוואה במכפלת המכנים   ונקבל: 

 
נפתח ונפתור:

 

 בדיקת הפתרון:

 

תרגיל פתור סדרה חשבונית - מציאת הפרש סדרה ואיברה הראשון ע"פ קשרים בין איברים בה

תרגיל

בסדרה חשבונית האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי וסכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב– 1 מהאיבר החמישי. מצא את הפרש הסדרה החשבונית.

פתרון

נסמן את האיבר הראשון בסדרה a1 ואת הפרש הסדרה d

האיבר השלישי בסדרה הוא:
a3 = a1 + 2d

והאיבר השביעי:
a7 = a1 + 6d

ע"פ נתוני השאלה האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי: a7 = 4a1

a1 + 2d)*4 = a1 + 6d)  

האיברים הרביעי והחמישי הם:

a4 = a1 + 3d
a5 = a1 + 4d

סכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב – 1 מהאיבר החמישי :  a3 + a4 = a5 + 1

לכן:
a1 + 2d + a1 + 3d = a1 + 4d + 1

נפתור את שני המשוואות :

a1 + 2d + a1 + 3d = a1 + 4d + 1
a1 + 2d)*4 = a1 + 6d)

a1 + d = 1
3a1 + 2d = 0

ונקבל

a1 = -2
d=3

תשובה : הפרש הסדרה הוא 3

סדרה הנדסית - הסבר ודוגמאות פתורות

במתמטיקה, סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, כך שהמנה של כל שני איברים עוקבים (או היחס בין כל שני איברים סמוכים) היא קבועה. במלים אחרות, ניתן לחשב כל איבר על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במנת הסדרה. היא נקראת סדרה הנדסית משום שכל איבר בה הוא ממוצע הנדסי של האיברים הסמוכים לו.

סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם הוא האיבר הראשון ו־ היא מנת הסדרה, האיבר ה־-י נתון על ידי הנוסחה .

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־-י (כולל) בעזרת הנוסחה .

דוגמה לסדרה הנדסית שמנתה היא 3 והאיבר הראשון שלה הוא 2: 162 ,54, 18, 6, 2. מספר איברי הסדרה הוא 5. מכאן  שסכום הסדרה הוא

דוגמאות תרגילים פתורים

תרגיל 1

נתונה סדרה הנדסית שבה האיבר השני שווה 54 והאיבר החמישי שווה 16. מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת המנה.
פתרון תרגיל 1

נתון:

נדרש למצוא את a1 ו-  q

תרגיל 2

סכום שלושת האברים הראשונים בסדרה הנדסית הוא 380. סכום שני האברים הראשונים גדול ב-20 מהאבר השלישי. מצא את שלושת האברים הראשונים

פתרון תרגיל 2

נסמן את איברי הסדרה ב-   ואת המנה q.

משוואה 1: סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה הוא 380 לכן:

משוואה 2: סכום שני האברים הראשונים גדול ב-20 מהאיבר השלישי לכן: 

ע"פ הגדרת סדרה הנדסית:


לכן משוואות 1 ו -2 :


קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים, נפתור:

 

חיבור המשוואות
 

 הצבת a1 באחת המשוואות:
 
קיבלנו משוואה ריבועית, נפתור:



כלומר יש שתי אפשרויות לסדרה:
אפשרות אחת עם איבר ראשון 80 ומנה 1.5, כלומר:
 

אפשרות שניה:
 

הוכחת נוסחאות לסכום סדרה חשבונית ודוגמא פתורה

הוכחת נוסחאות למציאת סכום סדרה חשבונית ודוגמא פתורה

  נתונה סדרה חשבונית 

a₁- האיבר הראשון בסדרה.

 a_n- האיבר האחרון בסדרה.

n – מספר האיברים בסדרה.

d – הפרש הסדרה.

 
כפי שכבר מצאנו ניתן לחשב את האיבר ה- nי בסדרה בנוסחה:  

 סכום n איברים ראשונים בסדרה חשבונית נתון בנוסחאות



הוכחת נוסחאות למציאת סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית

 

  מציאת סכום סדרה חשבונית - דוגמא פתורה

אין תגו

חוקרים: לתוספי התזונה והוויטמינים אין השפעה

חוקרים: לתוספי התזונה והוויטמינים אין השפעה , אסף גולן | 21/12/2013 

סדרה ארוכה של מחקרים קובעת בצורה חד משמעית כי אין משמעות ללקיחת תוספי תזונה. יוצא הדופן היחידי הוא ויטמין D וגם ביחס אליו קיימת מחלוקת בתחום המחקר

מחקר מקיף שפורסם לאחרונה בU.S. medical journal קובע כי לקיחת תוספי תזונה או מולטי ויטמינים שונים על ידי הצרכנים כלל לא מוסיפה לבריאותם ולעיתים אף פוגעת בבריאות הזו. לדברי החוקרים הראיות בתחום הן כל כך חזקות עד שהם קראו לציבור להפסיק לבזבז את כספו ולקנות מינראלים וויטמינים מכל סוג שהוא. ד"ר ריינהולד ויט פרופסור במחלקה למדעי התזונה של אוניברסיטת טורונטו הסביר כי "הסיבה שבגללה הויטמינים ותוספי התזונה לא מסייעים היא בגלל שיש בהם כמות ענקית מהחומר כך שהגוף כלל לא נזקק לתוספת הזו. הגוף נזקק לכמות מסוימת של חומרים כשיש לו כבר את החומרים האלו אז אין לתוספת שום משמעות שהיא. כלומר אדם שייקח תוספים כאלו לא יהיה מוגן יותר מבעיות או מחלות מאשר אדם שיהיו לו בדיוק את החומרים הנצרכים במילא בתוך הגוף".


חסרי השפעה. מבחר ויטמינים צילום: ראובן קסטרו
בהקשר לכך סדרה של מחקרים שפורסמו בAnnals of Internal Medicine הראו את אותן התוצאות. במחקר הראשון נבדקו 6000 גברים מגיל 65 ומעלה כשמחציתם לקחו תוספי תזונה שאמורים לסייע לפעילות הקוגניטיווית של האדם בגיל השלישי ומחצית לקחו תרופת דמה. הגברים האלו נבדקו במשך 12 שנה ולא נמצאה שום תוצאה שהראתה כי הקבוצה שלקחה את תוספי התזונה היתה במצב בריאותי טוב יותר מאשר הקבוצה האחרת. באותו אופן נערכה בדיקה על 1700 גברים חולי לב שעברו התקף לב מגיל 50 ומעלה. גם כאן הקבוצה חולקה לשתיים ונבדקה במשך 4.5 שנים. גם במחקר זה לא נמצאו שום הבדלים בין מי שלקחו תוספי תזונה למי שלא לקחו תוספים כאלו.

באופן דומה מובאים 26 מחקרים נוספים שנערכו לאחרונה כשכולם מגלים את אותה התוצאה. עם זאת החוקרים ציינו יוצא דופן אחד במחקר והוא בנוגע לתוסף של ויטמין D. בנוגע לכך התברר שלתוסף הזה יש השפעה טובה בעיקר על אנשים שלוקים בחוסר בוויטמין. עם זאת גם ביחס לתוצאות אלו יש מחלוקת קשה בין החוקרים ביחס לכמה באמת התוספים עוזרים. כך או כך הדעה הרווחת בעולם המחקר היא שרוב התוספים הם בעצם מיותרים ולא נצרכים בכמות שהם נמכרים בחנויות השונות.

שתי משוואות עם שני נעלמים מהמעלה הראשונה - דוגמא פתורה

פתור מערכת המשוואות:




מאחר והאגף הימני בשתי המשוואות שווה 1 נשווה את האגפים השמאליים ונפתח:



קיבלנו



נפתור לפי שיטת ההצבה, נציב את y באחת המשוואות, נניח הראשונה ונקבל:



נחלץ את x ונפתור:



לבסוף נבצע בדיקה:




תרגילים נוספים עם תשובות