תרגיל פתור סדרה חשבונית - מציאת הפרש סדרה ואיברה הראשון ע"פ קשרים בין איברים בה

תרגיל

בסדרה חשבונית האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי וסכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב– 1 מהאיבר החמישי. מצא את הפרש הסדרה החשבונית.

פתרון

נסמן את האיבר הראשון בסדרה a1 ואת הפרש הסדרה d

האיבר השלישי בסדרה הוא:
a3 = a1 + 2d

והאיבר השביעי:
a7 = a1 + 6d

ע"פ נתוני השאלה האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי: a7 = 4a1

a1 + 2d)*4 = a1 + 6d)  

האיברים הרביעי והחמישי הם:

a4 = a1 + 3d
a5 = a1 + 4d

סכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב – 1 מהאיבר החמישי :  a3 + a4 = a5 + 1

לכן:
a1 + 2d + a1 + 3d = a1 + 4d + 1

נפתור את שני המשוואות :

a1 + 2d + a1 + 3d = a1 + 4d + 1
a1 + 2d)*4 = a1 + 6d)

a1 + d = 1
3a1 + 2d = 0

ונקבל

a1 = -2
d=3

תשובה : הפרש הסדרה הוא 3

הוכחת נוסחאות לסכום סדרה חשבונית ודוגמא פתורה

הוכחת נוסחאות למציאת סכום סדרה חשבונית ודוגמא פתורה

  נתונה סדרה חשבונית 

a₁- האיבר הראשון בסדרה.

 a_n- האיבר האחרון בסדרה.

n – מספר האיברים בסדרה.

d – הפרש הסדרה.

 
כפי שכבר מצאנו ניתן לחשב את האיבר ה- nי בסדרה בנוסחה:  

 סכום n איברים ראשונים בסדרה חשבונית נתון בנוסחאות



הוכחת נוסחאות למציאת סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית

 

  מציאת סכום סדרה חשבונית - דוגמא פתורה

אין תגו

סדרה חשבונית - נוסחה לאיבר הכללי

סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע:
דוגמה: בסדרה 3, 5, 7, 9, 11, ... (מימין לשמאל) ההפרש הקבוע בין כל שני איברים עוקבים הוא 2.
סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

• האיבר הראשון בסדרה.
• ההפרש הקבוע בין שני איברים עוקבים בסדרה.
• מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי).

לפי מאפיינים אלה ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.
  
נוסחה לאיבר הכללי
אם הוא האיבר הראשון, ו־ הוא ההפרש, האיבר ה־ נתון על ידי הנוסחה: .

 דוגמאות:

דוגמא 1 - מציאת האיבר הכללי

נתונה הסדרה החשבונית: ... 8, 5, 2
מצא את האיבר ה- 11 בסדרה:
נמצא תחילה את הפרש הסדרה d, נשתמש למשל בהרש האיברים השני והראשון :
 
ע"פ נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית:

עבור האיבר ה- 11 , n = 11 ולכן:



דוגמא 2 - מציאת האיבר הראשון בסדרה:
נתונה סדרה חשבונית שבה האיבר ה- 6 הוא:
 והפרש הסדרה

מצא את האיבר הראשון בסדרה:
ע"פ נוסחת האיבר הכללי:

נחלץ את





דוגמא 3 - מציאת הפרש הסדרה d

מצא הפרש סדרה חשבונית (d) שבה האיבר ה- 13 שווה 77 והאיבר הראשון הוא 5
נתון לנו כי


מספר האיברים בסדרה הוא 13 , 
ע"פ נוסחת האיבר הכללי:

נחלץ את ההפרש d:


נציב ונקבל את הפרש הסדרה d:





קישורים:
הוכחת נוסחאות למציאת סכום סדרה חשבונית ודוגמא פתורה

תרגיל פתור סדרה חשבונית - מציאת הפרש סדרה ואיברה הראשון ע"פ קשרים בין איברים בה - תרגיל - בסדרה חשבונית האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי וסכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב – 1 מהאיבר החמישי. מצא את הפרש הסדרה החשבונית...

שאלות פתורות מבחינת מתכונת אלגברה, טור חשבוני, משוואת ישר - חורף 2008

קישורים:

• המרת מספר עשרוני מחזורי לשבר - מספר עשרוני מחזורי הוא מספר עשרוני שנמשך לנצח, אבל מספר ספרות חוזרות שוב ושוב. לדוגמה: ...0.1252525252525252525 הוא מספר מחזורי עשרוני, שבו המספר '25 'חזר לנצח...
• שאלה פתורה בחישוב נוסחאות ופונקציות - מתוך בגרות 3 יח' חורף 2007
  

שאלה פתורה באינדוקציה מתמטית - סכום טור חשבוני שאיברו הראשון 1 והפרשו 1

שאלה פתורה סדרות חשבוניות מתוך בגרות 3 יח' - קיץ 2007

פתרון

סעיף א

הפרש סדרה חשבונית מוגדר כהפרש בין שני איברים בה.

d = a_n – a_n-1

נסמן את הפרש הסדרה הראשונה d₁ , ואת הפרש הסרה השניה d₂

הפרש הסדרה הראשונה:

d₁ = 9 – 6 = 3

הפרש הסדרה השניה:

d₂ = 159 – 161 = -2

סעיף ב

לשתי הסדרות אותו מספר איברים נסמנו ב- n , והאבר האחרון בשתי הסדרות זהה, נסמנו ב- a_n.

נוסחת האיבר ה- nי של סדרה חשבונית:

a_n = a₁ + d(n-1)

נפעיל את הנוסחה של שתי הסדרות

עבור הסדרה הראשונה קיבלנו: a_n = 6 + 3(n-1)

עבור הסדרה השניה קיבלנו: a_n = 161 - 2(n-1)

קיבלנו 2 משוואות עם 2 נעלמים:

a_n = 3 +3n

a_n = 163 -2n

3 + 3n = 163 – 2n

5n = 160

n = 32

a_n = 3 + 3n = 99

הוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית שאיברה הראשון a1 והפרשה d

הוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית שאיברה הראשון a1 והפרשה d

שאלה פתורה בסדרה חשבונית - מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009

התשלומים יתוארו על ידי סדרה חשבונית.

מספר התשלומים n = מספר איברים בסדרה החשבונית.

התשלום הראשון a1 הוא האיבר הראשון בסדרה החשבונית ההפרש בין התשלומים d הוא הפרש הסדרה. האיבר ה- n בסדרה חשבונית נתון בנוסחה:

a_n = a₁ + d(n-1)

סכום סדרה חשבונית בת n איברים נתון :

S_n = ½n(a₁ + a_n) = = ½n[(2a₁ + d(n – 1)]

נתייחס לנתון כי "סך התשלום עבור הטלביזיה גדול פי 1.52 מששת התשלומים הראשונים"

כלומר: S₁₂ = 1.52*S₆

½*12[(2a₁ + d(12 – 1)] = 1.52* ½*6[(2a₁ + d(6 – 1)]

2(2a₁ + 11d) = 1.52(2a₁ + 5d)

4a₁ + 22d = 3.04a₁ + 7.6d

משוואה 1

0.96a₁ + 14.4d = 0

נתייחס לנתון כי " סך התשלום עבור הטלביזיה ... גדול ב- 1900 שקל מסכום שני התשלומים האמצעיים"

התשלומים האמצעיים מ- 12 התשלומים הם תשלומים 6 ו-7:

a₆ + a₇ = S₁₂ – 1900

a₁ + 5d +a₁ +6d = ½*12[(2a₁ + d(12 – 1)] -1900

2a₁ + 11d = 12a₁ + 66d – 1900

משוואה 2

10a₁ + 55d = 1900

פתרון משוואות 1 ו-2 :

a₁ = 300 ; d = -20

סך התשלום עבור הטלביזיה:

S₁₂ = ½*12[(2a₁ + d(12 – 1)] = 2280