בעית פתורה אלגברה אחוזים - בגרות מתמטיקה 3 יחידות קיץ 2007

פתרון

שאלה פתורה בחישוב נוסחאות ופונקציות - מתוך בגרות 3 יח' חורף 2007

פתרון

הנוסחה לחישוב מעלות צלזיוס (C) כפונציה של מעלות פרנהייט (F) נתונה: C = (5F - 160)/9.

סעיף א
עבור טמפרטורה של 212 מעלות פרנהייט F = 212 , נציב בנוסחה ונקבל:

C = (5F - 160)/9 = (5*212 - 160)/9 = 100

כלומר 212 מעלות פרנהייט הם 100 מעלות צלזיוס (נקודת רתיחה של מים)


סעיף ב

למציאת הטמפרטורה שבה F=C נניח כי הם שווים ל- x כלשהוא כלומר F=C=x

נציב בנוסחה את x:

x = (5x - 160)/9
9x = 5x - 160
4x = 160
x =40

כלומר בטמפרטורה 40 מעלות פרנהייט היא גם (זהה) ל- 40 מעלות צלזיוס


סעיף ג

נמצא מעלות פרנהייט כפונקציה של צלזיוס, כלומר F כפונציה של C.
נתון כי C = (5F - 160)/9

9C = 5F - 160
9C +160 = 5F
F = (9C +160)/5

שאלה פתורה בסדרה חשבונית - מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009

התשלומים יתוארו על ידי סדרה חשבונית.

מספר התשלומים n = מספר איברים בסדרה החשבונית.

התשלום הראשון a1 הוא האיבר הראשון בסדרה החשבונית ההפרש בין התשלומים d הוא הפרש הסדרה. האיבר ה- n בסדרה חשבונית נתון בנוסחה:

a_n = a₁ + d(n-1)

סכום סדרה חשבונית בת n איברים נתון :

S_n = ½n(a₁ + a_n) = = ½n[(2a₁ + d(n – 1)]

נתייחס לנתון כי "סך התשלום עבור הטלביזיה גדול פי 1.52 מששת התשלומים הראשונים"

כלומר: S₁₂ = 1.52*S₆

½*12[(2a₁ + d(12 – 1)] = 1.52* ½*6[(2a₁ + d(6 – 1)]

2(2a₁ + 11d) = 1.52(2a₁ + 5d)

4a₁ + 22d = 3.04a₁ + 7.6d

משוואה 1

0.96a₁ + 14.4d = 0

נתייחס לנתון כי " סך התשלום עבור הטלביזיה ... גדול ב- 1900 שקל מסכום שני התשלומים האמצעיים"

התשלומים האמצעיים מ- 12 התשלומים הם תשלומים 6 ו-7:

a₆ + a₇ = S₁₂ – 1900

a₁ + 5d +a₁ +6d = ½*12[(2a₁ + d(12 – 1)] -1900

2a₁ + 11d = 12a₁ + 66d – 1900

משוואה 2

10a₁ + 55d = 1900

פתרון משוואות 1 ו-2 :

a₁ = 300 ; d = -20

סך התשלום עבור הטלביזיה:

S₁₂ = ½*12[(2a₁ + d(12 – 1)] = 2280

שאלה פתורה בחקירת פונקציות - מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009

תשובה לסעיף א
משוואת הפונקציה המעריכית ממעלה שניה נתונה ע"י y = ax² + bx +c . צורתה של הפונקציה היא פרבולה.

כאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום, וכאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום.

על מנת שהפרבולה לא תעבור מתחת לציר x נדרוש כאמור שהיא תהיה בעלת נקודת מינימום כלומר a > 0.

בנוסף נדרש שהפרבולה לא תחתוך את צירx או שתשיק לו בנקודת המינימום שהרי דרשנו שהיא לא תעבור מתחת לציר x.

כלומר נדרוש שלא יהיו לה שורשים כלל או שורש אחד: b²- 4ab ≤ 0

ולכן עבור הפונקציה : y = (m-1)x²- (2m – 2)x + 9- m

נציב:

m – 1 >0

(2m -2)² -4(m-1)(9-m) ≤ 0

m > 1

4m² – 8m +4 -4(-m² +10m -9) ≤ 0

4m² – 8m +4 + 4m² -40m +36 ≤ 0

8m² – 48m + 40 ≤ 0

m² – 6m + 5 ≤ 0

(m – 1)(m – 5) ≤ 0

מתקבלים האי שיויונים:

≤ 5 1 ≤ m

m > 1

החיתוך ביניהם (פתרון סעיף א): ≤ 5 1 ≤ m

סעיף ב

נתונה סקיצה של פרבולה עם נקודת מקסימום y = ax² + bx +c שקודקודה מעל הישר y= 4

משוואות אלגבריות ובעיות - תרגילים פתורים - מבחינת בגרות חורף 2011 - 3 יחידות לימוד

תרגילים פתורים - מבחינת בגרות חורף 2011 - 3 יחידות לימוד - אקסטרני - שאלון א

שאלה מספר 1

שאלה מספר 2