תרגיל פתור - מבחן בגרות מתמטיקה 3 יחידות חורף תשע"א - חיתוך פרבולה עם הצירים

שאלה מספר 1

א. נתונה הפונקציה

למציאת נקודות חיתוך עם ציר x נציב  y =0

 
תשובה:
נקודות החיתוך של הפונקציה y עם ציר x הן:

 

ב. למציאת חיתוך הפרבולה עם ציר y (נקודה C) נציב במשוואה:
 x = 0 ונקבל: y = -5
לכן שיעור חיתוך הפונקציה עם ציר y (נקודה C) הוא:

ג. מאחר ונקודה C על ציר y , מרחקה מראשית הצירים הוא הערך המוחלט של שיעור ה-y שלה, כלומר 5.

ד. המרחק בין נקודות A , B הנמצאות על ציר x : הוא הערך המוחלט של הפרש שיעורי ה- x  שלהן כלומר:
|5-1| = 4

תשובה : המרחק בין נקודות A , B הוא 4.

ה. באופן דומה ניתן לחשב את המרחק בין נקודה A ששיעורה
|1-0| = 1

תשובה: המרחק של נקודה A מראשית הצירים הוא 1

מציאת שיעור קודקוד הפרבולה

שיעורי קודקוד הפרבולה עבור הם:

מציאת שיעורי קודקוד הפרבולה:

הפרבולה חותכת את ציר y בנקודה

עקב סימטריה קיימת נקודה נוספת שבה y=c, נמצא אותה ע"י פתרון המשוואות:


ישנן שתי נקודות חיתוך של הפרבולה  עם הישר y=c והן:

מציאת קודוקוד פרבולה כממוצע שתי נקודות סימטריה על הפרבולה

שיעור קודקוד הפרבולה M נמצא באמצע הקטע PQ ולכן


נמצא את ע"י הצבת בפונקציה הריבועית:



ולכן שיעורי קודוקוד הפרבולה M:

שאלה פתורה מתמטיקה ממבחן מפמר כיתה ט רמה רגילה מאי 2012 - פרבולה

1. בציור שלפניכם משורטט גרף של פונקציה

פרבולה עם נקודת מינימום ושני שורשים חיוביים

א.      איזו מבין הפונקציות הבאות מתאימה לתאר את הגרף הנתון?
I.    t(x) = 2(x – 3)² + 4
II.   p(x) = –2(x + 3)² – 4
III.  k(x) = –2(x – 3)² – 4
IV.  n(x) = 2(x – 3)² – 4

פתרון סעיף א

הפונקציה הינה פרבולה עם שני נקודות חיתוך על ציר x  ולכן ישנם שני שורשים (פתרונות). לפיכך תשובות 1,2,3 נפסלות כי אלו פונקציות  ללא נקודות חיתוך עם ציר x, לדוגמא פונקציה  2:

 p(x) = –2(x + 3)² – 4

נקודות חיתוך עם ציר x כאשר  0  p(x) =

0 = –2(x + 3)² – 4

4 =  –2(x + 3)²

2- = (x + 3)²  - אין פתרון כי אין מספר שריבועו שלילי.

התשובה הנכונה הנה תשובה 4.

ב. נתונה הפונקציה:   m(x) = (x – 3)² – 4

הקיפו בעיגול "נכון / לא נכון" לגבי כל טענה:

I. לפונקציה y = –7 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
II. לפונקציה y = 0 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
III. לישר x = 3 יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה הנתונה       נכון / לא נכון
IV. לפונקציה הנתונה ולפונקציה f(x) = (x – 3)² יש אותו ציר סימטריה נכון / לא נכון 

פתרון סעיף ב

התשובה הנכונה היא 2. הפונקציה y= 0 היא ציר x בעצמו ויש לציר x שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה.

 

 יש שני פתרונות למשוואות ולכן יש שני נקודות חיתוך עם y = 0



ג. באיזה תחום הפונקציה שלילית? הציגו דרך פתרון.

פתרון סעיף ג
בסעיף הקודם מצאנו שני נקודות חיתוך לפונקציה עם ציר x, שהן: 7, 1-
גרף הפונקציה (פרבולה) יראה כך:

פרבולה עם נק' מינימום, שתי נק' חיתוך עם ציר x

ניתן לראות כי לפרבולה ערכים שליליים (הקטע בצבע כחול של הפרבולה) עבור x קטן מ- 7 וגדול מ- (1-)
 




ד. כתבו פונקציה ריבועית שהקודקוד שלה הוא (4-, 3)  ואין לה נקודות חיתוך עם ציר x.



פתרון סעיף ד

הפונקציה הריבועית היא מהצורה:

קודקודה בשיעור (4-, 3) . הפרבולה תהיה מהצורה:


מתחת לציר x ללא נקודות חיתוך עם ציר x כלומר מהצורה בסקיצה.

לפרבולה נקודת מקסימום לכן a < 0

קודקוד הפרבולה בשיעור (4-, 3) לכן ע"פ נוסחאות שיעורי הפרבולה:


 

נבחר   a = -1 ע"פ התנאי a < 0



קיבלנו b = 6
c = -13

 ולכן המשוואה הריבועית:




קישורים:

• מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות 12-13 , שאלה 14 -15 , שאלה 16

•  מציאת שיעור קודקוד הפרבולה

חקירת פונקציות פרבולית - פרבולה מתחת לקו מקביל לציר x

שאלה
מצא לאילו ערכים של m נמצא גרף הפונקציה
כולו מתחת לקו y =1 .

פתרון:
על מנת שגרף הפונקציה יהיה כולו מתחת לקו y = 1 נדרוש כי y < 1 או:

נפתח:

הגרף של הפונקציה הפרבולית יהיה קטן מאפס כאשר
1. לפרבולה נקודת מקסימום - a <0 כלומר m - 5 <0
2. לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x - הדטרמיננטה קטנה מאפס
כלומר

נתחיל עם התנאי הראשון: m - 5 < 0 , מתקבל 5 > m

התנאי השני:
מתקבל:


נמצא את ערכי m כך ש:



מתקבל:

החיתוך של התנאים הראשון והשני הוא פתרון השאלה:

תרגיל פתור בחקירת פונקציה פרבולית

פרבולה מעל ציר x

מצא עבור אילו ערכים של m נמצא הגרף של הפונקציה הבאה מעל ציר x:



מדובר בגרף פונקציה מעריכית מהמעלה השניה (פרבולה) מהצורה:
כאשר:
a = 1
b = -m
c = m + 3

לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x כאשר הדטרמיננטה קטנה מאפס:
הפרבולה תהיה מעל ציר x כאשר היא עם נקודת מינימום:

נמצא את ערכי m לתנאים לעיל ונבצע חיתוך.

תנאי א -
לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x כאשר הדטרמיננטה קטנה מאפס:


לפרבולה אין חיתוך עם ציר x עבור ערכי m:

תנאי ב
הפרבולה תהיה מעל ציר x כאשר היא עם נקודת מינימום:
תנאי זה תמיד נכון עבור a = 1

החיתוך של תנאים א, ב הוא הפתרון: