דוגמאות פתורות מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות 1-6

שאלה מספר 1 -  פתרו את המשוואה הבאה בשתי דרכים:



פתרון

דרך ראשונה:

 

דרך שניה

 

שאלה מספר 2 - הסבירו מדוע למשוואה אין פתרון

תשובה

נפתח את המשוואה

קיבלנו באגף השמאלי ביטוי שהוא ריבוע מספר ולכן חייב להיות חיובי.
מאידך באגף הימני המספר 5- שלילי.
מכאן למשוואה סתירה לוגית ולכן אין לה פתרון.


 שאלה מספר 3

פתור את המשוואה במספר דרכים
דרך 1 - פתיחת סוגריים וכינוס איברים:

דרך 2 - משתמשים בנוסחת כפל מקוצר:

דרך 3 - הוצאת שורשים מידית

נבדוק עבור כל אפשרות: שורש חיובי ושורש שלילי

 שורש חיובי:

קיבלנו סתירה לוגית, אין פתרון עבור x באפשרות זאת

שורש שלילי

פתרון 0 = x


שאלה מספר 4
פתור את המשוואות, רשום תחום הצבה, ובדוק הפתרון באמצעות הצבה
 

פתרון
תחום ההצבה הוא התחום בו שלביטויים המרכיבים את המשוואה יש ערכים מוגדרים. כאשר למכנה יש ערך 0 הביטוי לא מוגדר ואינו בתחום ההצבה. המכנים במשוואות האלו הם: 3 - x , ו- (6 - 2x).
 מכנים אלו שונים מאפס כאשר x שונה מ- 3 לכן תחום ההצבה בוא כל המספרים פרט ל- 3 = x, מסמנים זאת כך:

פתרון המשוואה:

בדיקה: נציב במשוואה   את הערך 5 = x

קיבלנו שוויון אמת 6 =6 , ולכן הפתרון 5 = x נכון.



שאלה מספר 5
 פתור את המשוואה:
פתרון: פותחים סוגריים מכנסים איברים ומקבלים משוואה ריבועית. מהסוג:

מציבים בנוסחת השורשים:

ופותרים. להלן הפתרון

שאלה 6 
נתונה המשוואה 
 
לפניכם אחד מהשלבים בפתרון של המשוואה:

א. האם השלב המוצג נכון? הסבירו כיצד הוא מתקבל מהמשוואה.
ב. פתרו את המשוואה

פתרון שאלה 6
א. השלב מוצג נכון. תחום ההגדרה של x הוא כמוצג לפי העיקרון כי הביטוי במכנה שונה מ- 0.

לאחר שמוגדר תחום ההגדרה אפשר לפתח המשוואה:

ב. והמשך פתרון עד הסוף


קישורים:

מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות 12-13 , שאלה 14 -15 , שאלה 16

תרגיל פתור - משוואה מעריכית

הוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית שאיברה הראשון a1 והפרשה d

הוכחה באמצעות אינדוקציה מתמטית סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית שאיברה הראשון a1 והפרשה d

דוגמה לפתרון תרגיל באינדוקציה מתמטית

דוגמה לפתרון תרגיל באינדוקציה מתמטית

שאלה פתורה בסדרה חשבונית - מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009

התשלומים יתוארו על ידי סדרה חשבונית.

מספר התשלומים n = מספר איברים בסדרה החשבונית.

התשלום הראשון a1 הוא האיבר הראשון בסדרה החשבונית ההפרש בין התשלומים d הוא הפרש הסדרה. האיבר ה- n בסדרה חשבונית נתון בנוסחה:

a_n = a₁ + d(n-1)

סכום סדרה חשבונית בת n איברים נתון :

S_n = ½n(a₁ + a_n) = = ½n[(2a₁ + d(n – 1)]

נתייחס לנתון כי "סך התשלום עבור הטלביזיה גדול פי 1.52 מששת התשלומים הראשונים"

כלומר: S₁₂ = 1.52*S₆

½*12[(2a₁ + d(12 – 1)] = 1.52* ½*6[(2a₁ + d(6 – 1)]

2(2a₁ + 11d) = 1.52(2a₁ + 5d)

4a₁ + 22d = 3.04a₁ + 7.6d

משוואה 1

0.96a₁ + 14.4d = 0

נתייחס לנתון כי " סך התשלום עבור הטלביזיה ... גדול ב- 1900 שקל מסכום שני התשלומים האמצעיים"

התשלומים האמצעיים מ- 12 התשלומים הם תשלומים 6 ו-7:

a₆ + a₇ = S₁₂ – 1900

a₁ + 5d +a₁ +6d = ½*12[(2a₁ + d(12 – 1)] -1900

2a₁ + 11d = 12a₁ + 66d – 1900

משוואה 2

10a₁ + 55d = 1900

פתרון משוואות 1 ו-2 :

a₁ = 300 ; d = -20

סך התשלום עבור הטלביזיה:

S₁₂ = ½*12[(2a₁ + d(12 – 1)] = 2280

שאלה פתורה בחקירת פונקציות - מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009

תשובה לסעיף א
משוואת הפונקציה המעריכית ממעלה שניה נתונה ע"י y = ax² + bx +c . צורתה של הפונקציה היא פרבולה.

כאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום, וכאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום.

על מנת שהפרבולה לא תעבור מתחת לציר x נדרוש כאמור שהיא תהיה בעלת נקודת מינימום כלומר a > 0.

בנוסף נדרש שהפרבולה לא תחתוך את צירx או שתשיק לו בנקודת המינימום שהרי דרשנו שהיא לא תעבור מתחת לציר x.

כלומר נדרוש שלא יהיו לה שורשים כלל או שורש אחד: b²- 4ab ≤ 0

ולכן עבור הפונקציה : y = (m-1)x²- (2m – 2)x + 9- m

נציב:

m – 1 >0

(2m -2)² -4(m-1)(9-m) ≤ 0

m > 1

4m² – 8m +4 -4(-m² +10m -9) ≤ 0

4m² – 8m +4 + 4m² -40m +36 ≤ 0

8m² – 48m + 40 ≤ 0

m² – 6m + 5 ≤ 0

(m – 1)(m – 5) ≤ 0

מתקבלים האי שיויונים:

≤ 5 1 ≤ m

m > 1

החיתוך ביניהם (פתרון סעיף א): ≤ 5 1 ≤ m

סעיף ב

נתונה סקיצה של פרבולה עם נקודת מקסימום y = ax² + bx +c שקודקודה מעל הישר y= 4