מהו הגרף המתאים לפונקציה - שאלת בונוס מפמ"ר כיתה ט מאי 2012

שאלת בונוס מתוך מבחן מפמ"ר מאי 2012 - מציאת הגרף המתאים לפונקציה

פתרון

ניתן לראות כי מכנה הפונקציה מקבל ערך 0 עבור x = 3  לכן הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 3.
בגרפים 2, 3 הפונקציה מוגדרת. בגרף 2 הפונקציה מקבלת ערך 0 , ובגרף 3 הפונקציה מקבלת ערך 4- .
לכן גרפים 2, 3 נפסלים.

נשארנו עם גרפים 1, 4.
נבדוק נקודת חיתוך הפונקציה עם ציר y. נציב x = 0

:  
ונקבל  y = (9-4)/9 = 5/9  עבור x = 0

תוצאה זאת מתאימה לגרף 1 . בגרף 4,  y = 1  עבור  x = 0

בדיקה נוספת לאימות היא בדיקת נקודות חיתוך עם ציר x , עבור  y = 0

הצבה בפונקציה y = 0  תוביל לשני ערכי x = 1,5 , ושוב ההתאמה לגרף 1.

לכן הגרף המתאים לפונקציה הוא גרף 1.


קישורים:

מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות 12-13 , שאלה 14 -15 , שאלה 16

שאלה פתורה מתמטיקה ממבחן מפמר כיתה ט רמה רגילה מאי 2012 - פרבולה

1. בציור שלפניכם משורטט גרף של פונקציה

פרבולה עם נקודת מינימום ושני שורשים חיוביים

א.      איזו מבין הפונקציות הבאות מתאימה לתאר את הגרף הנתון?
I.    t(x) = 2(x – 3)² + 4
II.   p(x) = –2(x + 3)² – 4
III.  k(x) = –2(x – 3)² – 4
IV.  n(x) = 2(x – 3)² – 4

פתרון סעיף א

הפונקציה הינה פרבולה עם שני נקודות חיתוך על ציר x  ולכן ישנם שני שורשים (פתרונות). לפיכך תשובות 1,2,3 נפסלות כי אלו פונקציות  ללא נקודות חיתוך עם ציר x, לדוגמא פונקציה  2:

 p(x) = –2(x + 3)² – 4

נקודות חיתוך עם ציר x כאשר  0  p(x) =

0 = –2(x + 3)² – 4

4 =  –2(x + 3)²

2- = (x + 3)²  - אין פתרון כי אין מספר שריבועו שלילי.

התשובה הנכונה הנה תשובה 4.

ב. נתונה הפונקציה:   m(x) = (x – 3)² – 4

הקיפו בעיגול "נכון / לא נכון" לגבי כל טענה:

I. לפונקציה y = –7 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
II. לפונקציה y = 0 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
III. לישר x = 3 יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה הנתונה       נכון / לא נכון
IV. לפונקציה הנתונה ולפונקציה f(x) = (x – 3)² יש אותו ציר סימטריה נכון / לא נכון 

פתרון סעיף ב

התשובה הנכונה היא 2. הפונקציה y= 0 היא ציר x בעצמו ויש לציר x שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה.

 

 יש שני פתרונות למשוואות ולכן יש שני נקודות חיתוך עם y = 0



ג. באיזה תחום הפונקציה שלילית? הציגו דרך פתרון.

פתרון סעיף ג
בסעיף הקודם מצאנו שני נקודות חיתוך לפונקציה עם ציר x, שהן: 7, 1-
גרף הפונקציה (פרבולה) יראה כך:

פרבולה עם נק' מינימום, שתי נק' חיתוך עם ציר x

ניתן לראות כי לפרבולה ערכים שליליים (הקטע בצבע כחול של הפרבולה) עבור x קטן מ- 7 וגדול מ- (1-)
 




ד. כתבו פונקציה ריבועית שהקודקוד שלה הוא (4-, 3)  ואין לה נקודות חיתוך עם ציר x.



פתרון סעיף ד

הפונקציה הריבועית היא מהצורה:

קודקודה בשיעור (4-, 3) . הפרבולה תהיה מהצורה:


מתחת לציר x ללא נקודות חיתוך עם ציר x כלומר מהצורה בסקיצה.

לפרבולה נקודת מקסימום לכן a < 0

קודקוד הפרבולה בשיעור (4-, 3) לכן ע"פ נוסחאות שיעורי הפרבולה:


 

נבחר   a = -1 ע"פ התנאי a < 0



קיבלנו b = 6
c = -13

 ולכן המשוואה הריבועית:




קישורים:

• מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות 12-13 , שאלה 14 -15 , שאלה 16

•  מציאת שיעור קודקוד הפרבולה

חקירת פונקציות פרבולית - פרבולה מתחת לקו מקביל לציר x

שאלה
מצא לאילו ערכים של m נמצא גרף הפונקציה
כולו מתחת לקו y =1 .

פתרון:
על מנת שגרף הפונקציה יהיה כולו מתחת לקו y = 1 נדרוש כי y < 1 או:

נפתח:

הגרף של הפונקציה הפרבולית יהיה קטן מאפס כאשר
1. לפרבולה נקודת מקסימום - a <0 כלומר m - 5 <0
2. לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x - הדטרמיננטה קטנה מאפס
כלומר

נתחיל עם התנאי הראשון: m - 5 < 0 , מתקבל 5 > m

התנאי השני:
מתקבל:


נמצא את ערכי m כך ש:



מתקבל:

החיתוך של התנאים הראשון והשני הוא פתרון השאלה:

תרגיל פתור בחקירת פונקציה פרבולית

פרבולה מעל ציר x

מצא עבור אילו ערכים של m נמצא הגרף של הפונקציה הבאה מעל ציר x:



מדובר בגרף פונקציה מעריכית מהמעלה השניה (פרבולה) מהצורה:
כאשר:
a = 1
b = -m
c = m + 3

לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x כאשר הדטרמיננטה קטנה מאפס:
הפרבולה תהיה מעל ציר x כאשר היא עם נקודת מינימום:

נמצא את ערכי m לתנאים לעיל ונבצע חיתוך.

תנאי א -
לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x כאשר הדטרמיננטה קטנה מאפס:


לפרבולה אין חיתוך עם ציר x עבור ערכי m:

תנאי ב
הפרבולה תהיה מעל ציר x כאשר היא עם נקודת מינימום:
תנאי זה תמיד נכון עבור a = 1

החיתוך של תנאים א, ב הוא הפתרון:

תרגיל פתור - חקירת פונקציה טריגונומטרית

פתרון

סעיף 1 - נקודות חיתוך של הפונקציה עם הצירים
הפונקציה (f(x נחתכת עם ציר x כאשר 0 = (f(x , ועם ציר y כאשר x =0.



סעיף 2 - מציאת נקודות קיצון (מינימום, מקסימום)



סעיף 3 - מציאת נקודות מינימום מקסימום
מצאנו שתי נקודות קיצון אולם בשלב זה לא ידוע מה מהן נקודת מקסימום או מינמום.
לשם מיפוי הנקודות למינימום מקסימום נשתמש בתכונת הנגזרת השניה של הפונקציה:
- אם הנזרת השניה של הפונקציה גדולה מאפס בנקודת הקיצון, אזי נקודת הקיצון היא נקודת מינימום.
- אם הנזרת השניה של הפונקציה קטנה מאפס בנקודת הקיצון, אזי נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום.

שאלה פתורה בחקירת פונקציות - מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009

תשובה לסעיף א
משוואת הפונקציה המעריכית ממעלה שניה נתונה ע"י y = ax² + bx +c . צורתה של הפונקציה היא פרבולה.

כאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום, וכאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום.

על מנת שהפרבולה לא תעבור מתחת לציר x נדרוש כאמור שהיא תהיה בעלת נקודת מינימום כלומר a > 0.

בנוסף נדרש שהפרבולה לא תחתוך את צירx או שתשיק לו בנקודת המינימום שהרי דרשנו שהיא לא תעבור מתחת לציר x.

כלומר נדרוש שלא יהיו לה שורשים כלל או שורש אחד: b²- 4ab ≤ 0

ולכן עבור הפונקציה : y = (m-1)x²- (2m – 2)x + 9- m

נציב:

m – 1 >0

(2m -2)² -4(m-1)(9-m) ≤ 0

m > 1

4m² – 8m +4 -4(-m² +10m -9) ≤ 0

4m² – 8m +4 + 4m² -40m +36 ≤ 0

8m² – 48m + 40 ≤ 0

m² – 6m + 5 ≤ 0

(m – 1)(m – 5) ≤ 0

מתקבלים האי שיויונים:

≤ 5 1 ≤ m

m > 1

החיתוך ביניהם (פתרון סעיף א): ≤ 5 1 ≤ m

סעיף ב

נתונה סקיצה של פרבולה עם נקודת מקסימום y = ax² + bx +c שקודקודה מעל הישר y= 4