מהו הגרף המתאים לפונקציה - שאלת בונוס מפמ"ר כיתה ט מאי 2012

שאלת בונוס מתוך מבחן מפמ"ר מאי 2012 - מציאת הגרף המתאים לפונקציה

פתרון

ניתן לראות כי מכנה הפונקציה מקבל ערך 0 עבור x = 3  לכן הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 3.
בגרפים 2, 3 הפונקציה מוגדרת. בגרף 2 הפונקציה מקבלת ערך 0 , ובגרף 3 הפונקציה מקבלת ערך 4- .
לכן גרפים 2, 3 נפסלים.

נשארנו עם גרפים 1, 4.
נבדוק נקודת חיתוך הפונקציה עם ציר y. נציב x = 0

:  
ונקבל  y = (9-4)/9 = 5/9  עבור x = 0

תוצאה זאת מתאימה לגרף 1 . בגרף 4,  y = 1  עבור  x = 0

בדיקה נוספת לאימות היא בדיקת נקודות חיתוך עם ציר x , עבור  y = 0

הצבה בפונקציה y = 0  תוביל לשני ערכי x = 1,5 , ושוב ההתאמה לגרף 1.

לכן הגרף המתאים לפונקציה הוא גרף 1.


קישורים:

מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות 12-13 , שאלה 14 -15 , שאלה 16

שאלה פתורה מתמטיקה ממבחן מפמר כיתה ט רמה רגילה מאי 2012 - פרבולה

1. בציור שלפניכם משורטט גרף של פונקציה

פרבולה עם נקודת מינימום ושני שורשים חיוביים

א.      איזו מבין הפונקציות הבאות מתאימה לתאר את הגרף הנתון?
I.    t(x) = 2(x – 3)² + 4
II.   p(x) = –2(x + 3)² – 4
III.  k(x) = –2(x – 3)² – 4
IV.  n(x) = 2(x – 3)² – 4

פתרון סעיף א

הפונקציה הינה פרבולה עם שני נקודות חיתוך על ציר x  ולכן ישנם שני שורשים (פתרונות). לפיכך תשובות 1,2,3 נפסלות כי אלו פונקציות  ללא נקודות חיתוך עם ציר x, לדוגמא פונקציה  2:

 p(x) = –2(x + 3)² – 4

נקודות חיתוך עם ציר x כאשר  0  p(x) =

0 = –2(x + 3)² – 4

4 =  –2(x + 3)²

2- = (x + 3)²  - אין פתרון כי אין מספר שריבועו שלילי.

התשובה הנכונה הנה תשובה 4.

ב. נתונה הפונקציה:   m(x) = (x – 3)² – 4

הקיפו בעיגול "נכון / לא נכון" לגבי כל טענה:

I. לפונקציה y = –7 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
II. לפונקציה y = 0 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
III. לישר x = 3 יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה הנתונה       נכון / לא נכון
IV. לפונקציה הנתונה ולפונקציה f(x) = (x – 3)² יש אותו ציר סימטריה נכון / לא נכון 

פתרון סעיף ב

התשובה הנכונה היא 2. הפונקציה y= 0 היא ציר x בעצמו ויש לציר x שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה.

 

 יש שני פתרונות למשוואות ולכן יש שני נקודות חיתוך עם y = 0



ג. באיזה תחום הפונקציה שלילית? הציגו דרך פתרון.

פתרון סעיף ג
בסעיף הקודם מצאנו שני נקודות חיתוך לפונקציה עם ציר x, שהן: 7, 1-
גרף הפונקציה (פרבולה) יראה כך:

פרבולה עם נק' מינימום, שתי נק' חיתוך עם ציר x

ניתן לראות כי לפרבולה ערכים שליליים (הקטע בצבע כחול של הפרבולה) עבור x קטן מ- 7 וגדול מ- (1-)
 




ד. כתבו פונקציה ריבועית שהקודקוד שלה הוא (4-, 3)  ואין לה נקודות חיתוך עם ציר x.



פתרון סעיף ד

הפונקציה הריבועית היא מהצורה:

קודקודה בשיעור (4-, 3) . הפרבולה תהיה מהצורה:


מתחת לציר x ללא נקודות חיתוך עם ציר x כלומר מהצורה בסקיצה.

לפרבולה נקודת מקסימום לכן a < 0

קודקוד הפרבולה בשיעור (4-, 3) לכן ע"פ נוסחאות שיעורי הפרבולה:


 

נבחר   a = -1 ע"פ התנאי a < 0



קיבלנו b = 6
c = -13

 ולכן המשוואה הריבועית:




קישורים:

• מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות 12-13 , שאלה 14 -15 , שאלה 16

•  מציאת שיעור קודקוד הפרבולה

מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - פתרון שאלה 16

שאלה מספר 16
הסבירו כיצד השרטוט המצורף מדגים את השיוויון:


פתרון

השרטוט המצורף מתאר ריבוע המורכב מארבעה מלבנים חופפים וריבוע פנימי.
נוכל לסמן את צלעות המלבנים ב- a, b ולכן אורך צלע ריבוע גדול (a + b) ואורך צלע ריבוע קטן (a - b).

 להלן השרטוט והסימונים:

מהשרטוט ניתן לראות:
שטח הריבוע הגדול:
שטח 4 מלבנים וריבוע קטן המרכיבים את הריבוע הגדול:

ע"פ שיוויון שטח ריבוע גדול ושטח 4 מלבנים וריבוע קטן המרכיבים אותו, נקבל:


מ.ש.ל


קישורים:

מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות  12-13 , שאלה 14 -15

מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - פתרון שאלות 14-15

שאלה 14
נתון ריבוע שאורך צלעו 3a ס"מ. אם נגדיל שתי צלעות נגדיות ב- 2 ס"מ ונקטין שתי הצלעות נגדיות אחרות ב- 2 ס"מ נקבל מלבן. שטחו של מי, הריבוע או המלבן, גדול יותר ובכמה?

פתרון

המלבן והריבוע - צלעות ושטחים

אורך צלע הריבוע הוא 3a , ושטחו הוא ריבוע הצלע לכן שטח הריבוע S:


אורך צלע הגדולה של המלבן 3a + 2
אורך צלע הקטנה של המלבן 3a - 2

שטח המלבן Sr:

  - 1

ניתן לראות כי שטח הריבוע גדול משטח המלבן ב- 4 סמ"ר

1 - שימוש שנוסחת כפל מקוצר -

שאלה מספר 15

נתון ריבוע. אם נגדיל שתי צלעות נגדיות של הריבוע הנתון ב- 3 ס"מ ונקטין שתי צלעות נגדיות אחרות ב- 3 ס"מ יתקבל מלבן. אם נגדיל את צלע הריבוע פי 2 יתקבל ריבוע אחר מהריבוע הנתון (ריבוע ב). שטח הריבוע ב גדול ב- 84 סמ"ר משטח המלבן. מה שטח הריבוע הנתון?

פתרון:
נסמן את צלע הריבוע ב- x

המלבן
צלע אחת גדולה ב- 3 ס"מ מצלע הריבוע: x + 3
צלע שניה קטנה ב- 3 ס"מ מצלע הריבוע: x - 3
שטח המלבן:

 ריבוע ב
אורך צלעו פי 2 מהריבוע הנתון: 2x
שטח ריבוע ב:

 שטח הריבוע ב גדול ב- 84 סמ"ר משטח המלבן, לכן:
 
נפתח ונפתור:
 

 אורך צלע ריבוע אינה מוגדרת כמספר שלילי 5- לכן אורך צלע הריבוע הנתון הוא 5

קישורים:

•  מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות  12-13

דוגמאות פתורות מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות 12-13 - נוסחאות כפל מקוצר

שאלה מספר 12

נמקו מדוע נסו למצוא יותר מנימוק אחד

תשובה:

נימוק ראשון - פירוק לגורמים

פרקנו לגורמים את הביטויים משני צידי הסוגריים ולא הגענו לסתירה, לכן יש זהות בין הביטויים שהיו בתחילה.

נימוק שני - שימוש בנוסחת כפל מקוצר:

פיתחנו את המשוואה בעזרת נוסחת כפל מקוצר ולא הגענו לסתירה, לכן יש זהות בין הביטויים שהיו בתחילה.

שאלה מספר 13

 בעבור אילו ערכים של a ו- b מתקיים:

נפתח את המשוואה:



השוויון  ab = 0 מתקיים כאשר a = 0 או b = 0

דוגמאות פתורות מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלה 11 - השלמה לריבוע

פתרון
מוסיפים את המספר 16 לשני אגפים לקבל נוסחת כפל מקוצר. פותרים עבור מצב חיובי ומצב שלילי.

דוגמאות פתורות מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלה 10

פתרו את המשוואות

א. נפתור את המשוואה:

תחילה נמצא צחום הגדרה עבור x. המשוואה אינה מוגדרת כאשר המכנה שווה לאפס, לכן נדרוש כי:



כלומר:

פתרון המשוואה:
 

הפתרון x = -1 אינו בתחום ההגדרה ולכן הפתרון היחיד הוא: x = -5

דוגמאות פתורות מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות 8-9

שאלה 8

פתרון:

תחילה נמצא את הערכים של x המשוואה אינה מוגדרת. x אינו מוגדר כאשר ערך המכנה שווה ל- 0.

ישנם שני מכנים: 1 - x ,

מכנים אלו מקבלים ערך אפס כאשר:
ביטוי אלגברי אינו מוגדר כאשר המכנה שווה אפס.
לכן x יכול לקבל כל ערך פרט ל: 1, או 1-


מפתחים את המשוואה.



הגענו לביטוי שהגיעה ענת

שאלה 9

 פתרון

המכנה 2 - x אינו יכול לקבל ערך 0, ולכן x אינו יכול לקבל ערך 2.


 נצמצם במשוואה את הביטוי המכנה  2 - x ונקבל:


 וזה מה שנתקבל בנתוני השאלה.