מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - פתרון שאלה 16

שאלה מספר 16
הסבירו כיצד השרטוט המצורף מדגים את השיוויון:


פתרון

השרטוט המצורף מתאר ריבוע המורכב מארבעה מלבנים חופפים וריבוע פנימי.
נוכל לסמן את צלעות המלבנים ב- a, b ולכן אורך צלע ריבוע גדול (a + b) ואורך צלע ריבוע קטן (a - b).

 להלן השרטוט והסימונים:

מהשרטוט ניתן לראות:
שטח הריבוע הגדול:
שטח 4 מלבנים וריבוע קטן המרכיבים את הריבוע הגדול:

ע"פ שיוויון שטח ריבוע גדול ושטח 4 מלבנים וריבוע קטן המרכיבים אותו, נקבל:


מ.ש.ל


קישורים:

מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות  12-13 , שאלה 14 -15

מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - פתרון שאלות 14-15

שאלה 14
נתון ריבוע שאורך צלעו 3a ס"מ. אם נגדיל שתי צלעות נגדיות ב- 2 ס"מ ונקטין שתי הצלעות נגדיות אחרות ב- 2 ס"מ נקבל מלבן. שטחו של מי, הריבוע או המלבן, גדול יותר ובכמה?

פתרון

המלבן והריבוע - צלעות ושטחים

אורך צלע הריבוע הוא 3a , ושטחו הוא ריבוע הצלע לכן שטח הריבוע S:


אורך צלע הגדולה של המלבן 3a + 2
אורך צלע הקטנה של המלבן 3a - 2

שטח המלבן Sr:

  - 1

ניתן לראות כי שטח הריבוע גדול משטח המלבן ב- 4 סמ"ר

1 - שימוש שנוסחת כפל מקוצר -

שאלה מספר 15

נתון ריבוע. אם נגדיל שתי צלעות נגדיות של הריבוע הנתון ב- 3 ס"מ ונקטין שתי צלעות נגדיות אחרות ב- 3 ס"מ יתקבל מלבן. אם נגדיל את צלע הריבוע פי 2 יתקבל ריבוע אחר מהריבוע הנתון (ריבוע ב). שטח הריבוע ב גדול ב- 84 סמ"ר משטח המלבן. מה שטח הריבוע הנתון?

פתרון:
נסמן את צלע הריבוע ב- x

המלבן
צלע אחת גדולה ב- 3 ס"מ מצלע הריבוע: x + 3
צלע שניה קטנה ב- 3 ס"מ מצלע הריבוע: x - 3
שטח המלבן:

 ריבוע ב
אורך צלעו פי 2 מהריבוע הנתון: 2x
שטח ריבוע ב:

 שטח הריבוע ב גדול ב- 84 סמ"ר משטח המלבן, לכן:
 
נפתח ונפתור:
 

 אורך צלע ריבוע אינה מוגדרת כמספר שלילי 5- לכן אורך צלע הריבוע הנתון הוא 5

קישורים:

•  מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות  12-13

מבחן מיצב כיתה ח תשע"א פתרון שאלה מס' 24 - דמיון משולשים

מלבן חסום במשולש ישר זוית

לפניכם משולש ישר-זווית ABC. .
BDFE הוא מלבן החסום במשולש.

א. הַסבירו מדוע המשולשים ADF ו- ABC דומים. 

המשולשים ABC, ADF הם בעלי זויות שוות ולכן הם דומים.
נוכיח שזויותיהן שוות.

1. זוית A משותפת לשני המשולשים
2. DF מקביל ל- BE - צלעות נגדיות במלבן מקבילות
3. זוית B = זוית ADF = זוית ישרה
4. מ- 1 ו- 3 נובע כי במשולשים  ADF ו- ABC שתיים מזויותיהן שוות ולכן גם השלישית שווה (משלימה ל- 180 מעלות) ולכן המשולשים דומים.

ב. נתון גם:
5 ס"מ = DF
15 ס"מ = BC
18 ס"מ = AB
ב1. מה יחס הדמיון בין המשולשים: ABC , ADF?

יחס הדימיון בין שני משולשים דומים, הוא היחס בין צלע במשולש אחד לצלע המתאימה (מול הזוית השווה) במשולש השני.
לדוגמה זוית A שווה (משותפת) לשני המשולשים, זוית A מול הצלע DF במשולש ADF, וזוית A מול הצלע BC במשולש ABC, לכן יחס הדמיון הוא היחס בין DF ל- BC או 5/15 = 1/3.


ב2. מה שטח המלבן BDFE? הַציגו את דרך הפתרון:
 יחס הדמיון בין משולש ADF למשולש ABC הוא 1/3 , זהו היחס בין צלעות המשולשים, לכן:
AD/AB = 1/3
נציב: AB = 18 מהנתון, ונקבל:
AD/18 = 1/3
AD = 18/3 = 6
אורך הצלע BD של המלבן BDFE הוא:  BD = AB - AD = 18 - 6 = 12
אורך הצלע DF של המלבן: DF = 5 - נתון


השטח S של המלבן BDFE שווה למכפלת צלעות סמוכות, לכן: S = BD * DF = 5 * 12 = 60
שטח המלבן BDFE הוא 60 סמ"ר.

חשבון כיתה ח - תבנית מספר לשטח והיקף מלבן

שאלה
נתון מלבן ABCD. אורך המלבן AB = a ס"מ. רוחב המלבן קטן ב- 3 ס"מ מאורכו.

רשום תבנית מספר:
- לרוחב המלבן
-להיקף המלבן
- שטח המלבן

תשובה:
אורך המלבן a
רוחב המלבן b קטן ב- 3 ס"מ לכן: b = a-3

היקף המלבן p שווה לסכום הצלעות AB, BC, CD, AD

לכן:


ההיקף p = 4a - 6

שטח המלבן s שווה למכפלת הצלעות a, b:

שטח המלבן:

שטחים של מרובעים מיוחדים: ריבוע, מלבן, מקבילית

שטחים של מרובעים מיוחדים: ריבוע, מלבן, מקבילית

בעיה פתורה בטריגונומטריה - בגרות קיץ 2006 3 יח'

שאלה



פתרון

א. אורכי הצלעות BC , CD:

BC = 12 * sin34 = 6.71
CD = 12 * cos34 = 9.95

ב. שטח המלבן ABCD הוא מכפלת צלעותיו BC ו- CD:

S = BC *CD = 6.71 *9.95 = 66.75

ג. אלכסוני המלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
ולכן OC = OD , מכאן שזויות ODC ו- OCD שוות ביניהן ול- 34 מעלות.

נסמן את זוית COD ב- x - סכום הזויות במשולש COD הוא 180 מעלות:

180 = 34 +34 + x

x = 112

זוית DOC שווה ל- 112 מעלות