בעיה פתורה בגיאומטריה - ריבוע ששתי צלעותיו הסמוכות משיקות למעגל

תרגיל

פתרון

ריבוע - שטח, היקף, אלכסון, מעגל חוסם, ומעגל חסום

ריבוע הוא מרובע שכל צלעותיו שוות זוז לזו וכל זויותיו שוות אחת לשניה.

שטח והיקף הריבוע
נניח כי a היא צלע הריבוע

• שטח  =
• היקף =

אלכסון הריבוע


אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה, ומאונכים זה לזה.
נסמן את אורך אלכסון הריבוע ב- k, ואת אורך צלע הריבוע ב- a , נחשב את אורך האלכסון k.

ע"פ משפט פיתגורס 
נפתח ןנקבל:



רדיוסים המעגלים החוסם והחסום בריבוע

אם נסמן את a כצלע של ריבוע, r כרדיוס של עיגול החסום בריבוע ו- R כרדיוס של עיגול החוסם את ריבוע אזי

• מרכז של שני העיגולים הנ"ל יהיה גם מקום חיתוך אלכסוני הריבוע

• רדיוס של עיגול החסום שווה לחצי צלע של ריבוע

• רדיוס של עיגול החוסם שווה לחצי אלכסון של ריבוע

מבחן מיצב כיתה ח תשע"א פתרון שאלה 21

שאלה 21
לפניכם סרטוט של מחומש ABCDE המורכב מריבוע ABDE וממשולש ישר-זווית BCD.


א. מה שטח הריבוע ABDE? הַציגו את דרך הפתרון:

נמצא תחילה את אורך צלע BD של הריבוע ABDE, ע"פ משפט פיתגורס.
משולש  BCD ישר זוית (זוית C ישרה) לכן סכום ריבועי הניצבים BC, ו- CD שווה לריבוע היתר BD:

או בהצבה ופתרון:


שטח ריבוע שווה לריבוע צלע מצלעותיו השוות, בעצמה:
שטח הריבוע :   


ב. מה שטח המחומש ABCDE? הַציגו את דרך הפתרון:

פתרון סעיף ב
שטח המחומש ABCDE מורכב משטח הריבוע ABDE ושטח המשולש ישר הזוית BCD. נמצא את שטח הריבוע ושטח המשולש, נחבר אותם, ונקבל את שטח המחומש.
שטח ריבוע ABDE -מצאנו בסעיף א:
שטח המשולש BCD - שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לאותה הצלע. כאשר המשולש ישר זוית, הניצבים מהווים צלעות וגבהים אחד לשני, לכן שטח משולש ישר זוית שווה למחצית מכפלת ניצביו.
שטח משולש BCD:

שטח המחומש ABCDE הוא סכום שטח הריבוע ושטח המשולש: 91.5 = 74 + 17.5


ג. מה היקף המחומש ABCDE?

פתרון סעיף ג
היקף המחומש P שווה לסכום צלעותיו:

 
התשובה הנכונה היא מספר 3.

קישורים:

• תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשסח ב - כיתה ח - חלק ב

חידה מתמטית - ריבוע חסום במשולש

חידה במתמטיקה:

נתון משולש ABC בעל אורכי צלעות 10, 17, 21 כמתואר בסקיצה. ריבוע חסום בתוך המשולש. מצא אורך מצלע הריבוע d.

פתרון:
ע"פ נוסחת הרון ניתן למצוא שטח משולש A ע"פ אורכי צלעותיו:
נוסחת הרון לשטח A :








לכן במקרה שלנו:
s = (10 + 17 + 21) /2
s = 48/2 = 24

ולכן שטח המשולש A:


לכן הגובה h מהנקודה A לצלע BC:
A = 21h/2 = 84
h = 8
נניח עתה כי d הוא אורך צלע הריבוע, לכן המשולשים ABC והמשולש (צבע כחול) הנוצר מצלע ריבוע עליונה דומים. מדמיון משולשים נובע היחס:


מכאן אורך צלע הריבוע d = 168/29

שטחים של מרובעים מיוחדים: ריבוע, מלבן, מקבילית

שטחים של מרובעים מיוחדים: ריבוע, מלבן, מקבילית