מבחן מיצב כיתה ח תשע"א פתרון שאלה 21

שאלה 21
לפניכם סרטוט של מחומש ABCDE המורכב מריבוע ABDE וממשולש ישר-זווית BCD.


א. מה שטח הריבוע ABDE? הַציגו את דרך הפתרון:

נמצא תחילה את אורך צלע BD של הריבוע ABDE, ע"פ משפט פיתגורס.
משולש  BCD ישר זוית (זוית C ישרה) לכן סכום ריבועי הניצבים BC, ו- CD שווה לריבוע היתר BD:

או בהצבה ופתרון:


שטח ריבוע שווה לריבוע צלע מצלעותיו השוות, בעצמה:
שטח הריבוע :   


ב. מה שטח המחומש ABCDE? הַציגו את דרך הפתרון:

פתרון סעיף ב
שטח המחומש ABCDE מורכב משטח הריבוע ABDE ושטח המשולש ישר הזוית BCD. נמצא את שטח הריבוע ושטח המשולש, נחבר אותם, ונקבל את שטח המחומש.
שטח ריבוע ABDE -מצאנו בסעיף א:
שטח המשולש BCD - שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לאותה הצלע. כאשר המשולש ישר זוית, הניצבים מהווים צלעות וגבהים אחד לשני, לכן שטח משולש ישר זוית שווה למחצית מכפלת ניצביו.
שטח משולש BCD:

שטח המחומש ABCDE הוא סכום שטח הריבוע ושטח המשולש: 91.5 = 74 + 17.5


ג. מה היקף המחומש ABCDE?

פתרון סעיף ג
היקף המחומש P שווה לסכום צלעותיו:

 
התשובה הנכונה היא מספר 3.

קישורים:

• תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשסח ב - כיתה ח - חלק ב

שאלה פתורה בגיאומאטריה - משולש שווה צלעות

שאלה


פתרון

הוכח כי הגובה ליתר במשולש ישר זווית שווה למכפלת הניצבים לחלק ליתר

נתון משולש ישר זווית ABC , זווית ACB ישרה

נדרש להוכיח כי הגובה ליתר h שווה למכפלת הניצבים a,b לחלק ביתר c
או: h=ab/c

הוכחה

נחשב את שטח המשולש בשני דרכים ונשווה ביניהם:

שטח המשולש הוא מחצית מכפלת הניצבים: S=ab/2

שטח המשולש מחושב גם כמחצית מכפלת היתר בגובה ליתר: S=ch/2

לכן: ab/2=ch/2
ab=ch

לכן הגובה ליתר: h=ab/c

מ.ש.ל

משפט בגיאומטריה: היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון בין המשולשים

קישורים:

גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.

חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.

תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.

שטח משולש ישר זוית במערכת צירים

פתרון:
סעיף א
נוכיח תחילה כי משולש ABC ישר זוית
1. הקטע AB נמצא על הישר y=2

2. הקטע BC נמצא על הישר x = -3
3. הקטעים AB ו- BC מאונכים - מונחים על ישרים מאונכים

4. AB = 8 - הפרש הקורדינאטות x של הנקודות A, B
5. באופן דומה BC = 6
6. שטח המשולש: ABC = 6*8/2 = 24 משולש

סעיף ב
הנקודה D נמצאת על הישר x = -3 , בנוסף היא באמצע הקטע BC
לכן שיעור ה- y של הנקודה D יהיה ממוצע הקורדינטה y של B ו-C
[2+(-4)] /2 = -1

שיעור הנקודה ( D(-3, -1

סעיף ג
המשולש ABD ישר זוית מאחר וזוית B ישרה כפי שהוכח בסעיף א.
AB = 8 - הוכח בסעיף א.
BD = 3 אורך הקטע BD הוא הפרש ה- Yים של B, D כלומר : 2-(-1) = 3

השטח של המשולש ABD = AB*BD/2 = 3*8/2 = 12

סעיף ד
שטח המשולש ACD שווה להפרש שטחי המשולשים: ABC, ו- ABD
כלומר 12