המשולשים מורכבים מארבעה חלקים זהים אשר שינו מקומם. מאין אם כן הופיע ה"חור" במשולש התחתון
הצגת רשומות עם תוויות גיאומטריה. הצג את כל הרשומות
הצגת רשומות עם תוויות גיאומטריה. הצג את כל הרשומות
יום שלישי, 18 באוקטובר 2011
יום שלישי, 20 בספטמבר 2011
משפט תאלס ההפוך: שני ישרים המקצים על שוקי זוית קטעים פרופורציונים – מקבילים זה לזה.
 |
| ישרים חותכים שוקי זוית |
או אחד מיחסי הפרופורציה:
AB/BD = AC/CE או
AD/BD = AE/CE
אזי מתקיימת המקבילות:
DE||BC
יום ראשון, 11 בספטמבר 2011
רשימת משפטים בגיאומטריה
ישרים מקבילים
אקסיומת המקבילים - אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות (180 מעלות), אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו.
שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתאימות שוות , אז שני הישרים מקבילים.
שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים.
שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא
אז שני הישרים מקבילים.
אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז:
א. כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו.
ב. כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות שוות זו לזו.
ג. סכום כל זוג זוויות חד-צדדיות הוא 180 מעלות.
.
משולשים
1. אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה
משפט הפוך: אם זוית אחת גדולה מזוית שניה אז הצלע שמול הזוית הקטנה, קטנה מהצלע שמול הזוית הגדולה
2. סכום שתי צלעות גדול מצלע שלישית.
3. כל צלע במשולש גדולה מהפרש שתי הצלעות האחרות.
4. סכום הזויות במשולש 180 מעלות.
5. זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
חפיפה
6. אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים.
7. אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים.
8. אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים.
9. במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות.
10. במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות.
משולשים שווי שוקיים
11. זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
12. אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
13. במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס, וחוצה את הבסיס (תיכון).
14. מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
15. במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות
משולשים ישרי זווית
16. במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו60 הניצב שמול ה30 שווה למחצית היתר.
17. אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר אז הזווית שמול הניצב שווה 30.
18. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
19. משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית.
20. הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
21. אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית.
קטע אמצעים במשולש
22. קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
24. קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית חוצה את הצלע השנייה.
25. קטע המחבר שתי צלעות במשולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתהּ הוא קטע אמצעים.
קטע אמצעים בטרפז
26. קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
28. האלכסון בטרפז שווה שוקיים גדול מקטע האמצעים.
29. קטע בטרפז היוצא מאמצע שוק אחת ומקביל לבסיסים חוצה את הצלע השנייה.
מרובעים
דלתון - מונחים ותכונות
האלכסון המשני בדלתון יוצר שני משולשים שווי שוקיים שבסיסם המשותף הוא האלכסון המשני
הזוויות הצדדיות בדלתון שוות זו לזו
האלכסון הראשי מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים
30. האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זוויות הראש.
31. האלכסון הראשי בדלתון מאונך לאלכסון המשני וחוצה אותו.
32. שטח דלתון מחושב כמחצית מכפלת האלכסונים
33. סכום הזויות במרובע 360.
מקבילית
34. במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות.
35. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
36. במקבילית כל זוג צלעות נגדיות שוות.
37. במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180.
38. אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית.
39. אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית.
40. אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית.
41. אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית
42. במלבן האלכסונים שווים.
43. מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.
מעוין - הגדרה: מעוין הוא מרובע שווה צלעות
44. אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין.
45. אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
46. מקבילית שבה האלכסונים חוצים זה את זה היא מעוין.
צלעות נגדיות במעוין מקבילות
זוויות נגדיות במעוין שוות זו לזו
אלכסוני המעוין חוצים זה את זה
הגבהים במעוין שווים באורכם
מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין
מקבילית שבה אלכסון חוצה את הזווית היא מעוין.
מקבילית עם זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
אקסיומת המקבילים - אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות (180 מעלות), אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו.
שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתאימות שוות , אז שני הישרים מקבילים.
שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים.
שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא
אז שני הישרים מקבילים.אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז:
א. כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו.
ב. כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות שוות זו לזו.
ג. סכום כל זוג זוויות חד-צדדיות הוא 180 מעלות.
.
משולשים
1. אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה
משפט הפוך: אם זוית אחת גדולה מזוית שניה אז הצלע שמול הזוית הקטנה, קטנה מהצלע שמול הזוית הגדולה
2. סכום שתי צלעות גדול מצלע שלישית.
3. כל צלע במשולש גדולה מהפרש שתי הצלעות האחרות.
4. סכום הזויות במשולש 180 מעלות.
5. זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
חפיפה
6. אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים.
7. אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים.
8. אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים.
9. במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות.
10. במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות.
משולשים שווי שוקיים
11. זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
12. אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
13. במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס, וחוצה את הבסיס (תיכון).
14. מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
15. במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות
משולשים ישרי זווית
16. במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו60 הניצב שמול ה30 שווה למחצית היתר.
17. אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר אז הזווית שמול הניצב שווה 30.
18. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
19. משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית.
20. הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
21. אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית.
קטע אמצעים במשולש
22. קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
24. קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית חוצה את הצלע השנייה.
25. קטע המחבר שתי צלעות במשולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתהּ הוא קטע אמצעים.
קטע אמצעים בטרפז
26. קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
28. האלכסון בטרפז שווה שוקיים גדול מקטע האמצעים.
29. קטע בטרפז היוצא מאמצע שוק אחת ומקביל לבסיסים חוצה את הצלע השנייה.
מרובעים
דלתון - מונחים ותכונות
האלכסון המשני בדלתון יוצר שני משולשים שווי שוקיים שבסיסם המשותף הוא האלכסון המשני
הזוויות הצדדיות בדלתון שוות זו לזו
האלכסון הראשי מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים
30. האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זוויות הראש.
31. האלכסון הראשי בדלתון מאונך לאלכסון המשני וחוצה אותו.
32. שטח דלתון מחושב כמחצית מכפלת האלכסונים
33. סכום הזויות במרובע 360.
מקבילית
34. במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות.
35. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
36. במקבילית כל זוג צלעות נגדיות שוות.
37. במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180.
38. אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית.
39. אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית.
40. אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית.
41. אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית
42. במלבן האלכסונים שווים.
43. מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.
מעוין - הגדרה: מעוין הוא מרובע שווה צלעות
44. אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין.
45. אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
46. מקבילית שבה האלכסונים חוצים זה את זה היא מעוין.
צלעות נגדיות במעוין מקבילות
זוויות נגדיות במעוין שוות זו לזו
אלכסוני המעוין חוצים זה את זה
הגבהים במעוין שווים באורכם
מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין
מקבילית שבה אלכסון חוצה את הזווית היא מעוין.
מקבילית עם זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
בכל מעוין ניתן לחסום מעגל
טרפז שווה שוקיים
47. זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים שוות.
48. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים.
מעגלים
49. למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות ולהיפך.
50. שלוש נקודות הנמצאות על מעגל אחד אינן יכולות להימצא על ישר אחד.
51. שלוש נקודות שאינן על ישר אחד קובעות מעגל אחד ויחיד.
52. לקשתות שוות מתאימות זוויות מרכזיות שוות.
53. לזוויות מרכזיות שוות מתאימות קשתות שוות.
54. למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות.
55. לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים.
56. אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה ואת הקשת המתאימה.
57. קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.
58. אנך מאמצע המיתר עובר דרך מרכז המעגל.
59. מיתרים שווים במעגל נמצאים במרחקים שווים מהמרכז.
60. מיתרים במעגל הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים זה לזה.
61. אם במעגל, מיתר אחד גדול ממיתר שני, אז מרחקו מהמרכז של המיתר הראשון קטן ממרחקו של השני.
62. הזווית המרכזית במעגל גדולה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת.
63. כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.
64. זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל90 מעלות.
65. זוויות היקפיות שוות- נשענות על מיתרים (קשתות) שווים.
66. על מיתרים (קשתות) שווים נשענות זוויות היקפיות שוות או שסכומן 180 מעלות.
67. זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית והמשכיהן.
68. זווית פנימית שווה למחצית סכום הקשתות שנשענות על שוקי הזווית ועל המשכיהן.
69. זווית חיצונית למעגל שווה להיפרש שבין שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת.
70. הזווית בין משיק לרדיוס הנפגשים בנקודת ההשקה שווה ל90 מעלות.
71. ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל.
72. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
73. הזווית בין משיק למיתר הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
74. נקודת המגע של שני מעגלים משיקים נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.
75. מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות.
76. מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזווית.
77. כל זוג זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל סכומן 180 מעלות.
78. במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.
79. מרובע שבו סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני הוא מרובע חוסם מעגל.
80. אם מחלקים מעגל לn קשתות שוות ומחברים את נקודות החלוקה בזו אחר זו מקבלים מצולע משוכלל בעל n קשתות.
81. כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
82. בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.
83. שני מיתרים, הנחתכים במעגל, מחלקים זה את זה כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.
84. אם למעגל יוצאים שני חותכים מאותה נקודה אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
85. אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל אז מכפלת החותך בחלקו החיצונה זהו גודל קבוע השווה לריבוע המשיק.
87. שטח מקבילית שווה למכפלת צלע בגובה שלה.
88. שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע בגובה שלה.
89. שטח טרפז שווה למחצית המכפלה של סכום הבסיסים בגובה.
90. שטחי מעוין, ריבוע ודלתון שווים למחצית מכפלת אלכסוניהם.
92. משפט תאלס - שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציונים.
93. משפט תאלס ההפוך: שני ישרים המקצים על שוקי זוית קטעים פרופורציונים – מקבילים זה לזה.
94. משפט חוצה זווית - חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין הצלעות הכולאות את הזווית.
95. משפט חוצה זוית הפוך: קטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות- חוצה את זווית המשולש.
96. ישר המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש הדומה לו.
98. אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות המשולשים דומים.
99. אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות המתאימות אז המשולשים דומים.
100. אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות והזוויות שמול הצלע הגדולה מהשתיים שוות בהתאמה אז המשולשים דומים.
101. גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
102. חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
103. תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
104. הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
105. הרדיוסים של מעגלים החסומים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
106. ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
107. שטחים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כריבוע היחס שבין הצלעות המתאימות.
108. הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד דומה למשולש המקורי.
109. הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר.
אחר
110. זוויות קודקודיות תמיד שוות.
111. אם מנקודה מחוץ לישר יוצאים שני קטעים משופעים שווים אז גם היטליהם שווים וההיפך.
112. אם היטלו של משופע אחד גדול מהיטלו של משופע שני אז המשופע הראשון גדול מהמשופע השני.
113.
114. שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם.
115. אם מחברים גדלים שווים לגדלים שווים הסכומים שווים.
116. אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מגדלים שווים אז ההפרשים שווים.
117. אם מחלקים גדלים שווים בגדלים שווים המנות שוות.
118. אם כופלים גדלים שווים בגדלים שווים המכפלות שוות.
119. אם שתי זווית במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז הזווית השלישית שווה.
120. משלימות אותן זוויות ל180.
121. בתבניות ניתן להציב גודל מסוים במקום גודל השווה לו.
122. זוויות צמודות סכומן 180.
123. דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר הנתון.
124. סכום הזויות החיצוניות במצולע 360.
125. כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
126. כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך האמצעי.
127. כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
128. כל נקודה הנמצאת על במרחקים שווים משוקי הזווית נמצאת על חוצה הזווית.
129. שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
130. שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת
שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת
כל שני אנכים אמצעיים לצלעות במשולש נחתכים
131. שטח ריבוע שצלעו ניצב אחד של משולש ישר זווית שווה לשטח מלבן שצלעותיו הן היתר וההיטל של ניצב זה על היתר. (משפט אוקלידס)
132. בכל משולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (משפט פיתגורס)
טרפז שווה שוקיים
47. זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים שוות.
48. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים.
מעגלים
49. למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות ולהיפך.
50. שלוש נקודות הנמצאות על מעגל אחד אינן יכולות להימצא על ישר אחד.
51. שלוש נקודות שאינן על ישר אחד קובעות מעגל אחד ויחיד.
52. לקשתות שוות מתאימות זוויות מרכזיות שוות.
53. לזוויות מרכזיות שוות מתאימות קשתות שוות.
54. למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות.
55. לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים.
56. אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה ואת הקשת המתאימה.
57. קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.
58. אנך מאמצע המיתר עובר דרך מרכז המעגל.
59. מיתרים שווים במעגל נמצאים במרחקים שווים מהמרכז.
60. מיתרים במעגל הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים זה לזה.
61. אם במעגל, מיתר אחד גדול ממיתר שני, אז מרחקו מהמרכז של המיתר הראשון קטן ממרחקו של השני.
62. הזווית המרכזית במעגל גדולה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת.
63. כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.
64. זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל90 מעלות.
65. זוויות היקפיות שוות- נשענות על מיתרים (קשתות) שווים.
66. על מיתרים (קשתות) שווים נשענות זוויות היקפיות שוות או שסכומן 180 מעלות.
67. זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית והמשכיהן.
68. זווית פנימית שווה למחצית סכום הקשתות שנשענות על שוקי הזווית ועל המשכיהן.
69. זווית חיצונית למעגל שווה להיפרש שבין שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת.
70. הזווית בין משיק לרדיוס הנפגשים בנקודת ההשקה שווה ל90 מעלות.
71. ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל.
72. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
73. הזווית בין משיק למיתר הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.
74. נקודת המגע של שני מעגלים משיקים נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.
75. מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות.
76. מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזווית.
77. כל זוג זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל סכומן 180 מעלות.
78. במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.
79. מרובע שבו סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני הוא מרובע חוסם מעגל.
80. אם מחלקים מעגל לn קשתות שוות ומחברים את נקודות החלוקה בזו אחר זו מקבלים מצולע משוכלל בעל n קשתות.
81. כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
82. בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.
83. שני מיתרים, הנחתכים במעגל, מחלקים זה את זה כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.
84. אם למעגל יוצאים שני חותכים מאותה נקודה אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
85. אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל אז מכפלת החותך בחלקו החיצונה זהו גודל קבוע השווה לריבוע המשיק.
שטחים
86. שטח המלבן שווה למכפלת צלע אחת בצלע שנייה.87. שטח מקבילית שווה למכפלת צלע בגובה שלה.
88. שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע בגובה שלה.
89. שטח טרפז שווה למחצית המכפלה של סכום הבסיסים בגובה.
90. שטחי מעוין, ריבוע ודלתון שווים למחצית מכפלת אלכסוניהם.
פרופורציה
91. כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי שניים מהקטע הקרוב לצלע.92. משפט תאלס - שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציונים.
93. משפט תאלס ההפוך: שני ישרים המקצים על שוקי זוית קטעים פרופורציונים – מקבילים זה לזה.
94. משפט חוצה זווית - חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין הצלעות הכולאות את הזווית.
95. משפט חוצה זוית הפוך: קטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות- חוצה את זווית המשולש.
96. ישר המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש הדומה לו.
דמיון משולשים
97. אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות מתאימות והזווית שביניהן שווה בהתאמה אז המשולשים דומים.98. אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות המשולשים דומים.
99. אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות המתאימות אז המשולשים דומים.
100. אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות והזוויות שמול הצלע הגדולה מהשתיים שוות בהתאמה אז המשולשים דומים.
101. גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
102. חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
103. תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
104. הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
105. הרדיוסים של מעגלים החסומים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
106. ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
107. שטחים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כריבוע היחס שבין הצלעות המתאימות.
108. הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד דומה למשולש המקורי.
109. הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר.
אחר
110. זוויות קודקודיות תמיד שוות.
111. אם מנקודה מחוץ לישר יוצאים שני קטעים משופעים שווים אז גם היטליהם שווים וההיפך.
112. אם היטלו של משופע אחד גדול מהיטלו של משופע שני אז המשופע הראשון גדול מהמשופע השני.
113.
114. שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם.
115. אם מחברים גדלים שווים לגדלים שווים הסכומים שווים.
116. אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מגדלים שווים אז ההפרשים שווים.
117. אם מחלקים גדלים שווים בגדלים שווים המנות שוות.
118. אם כופלים גדלים שווים בגדלים שווים המכפלות שוות.
119. אם שתי זווית במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז הזווית השלישית שווה.
120. משלימות אותן זוויות ל180.
121. בתבניות ניתן להציב גודל מסוים במקום גודל השווה לו.
122. זוויות צמודות סכומן 180.
123. דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון ניתן להעביר ישר אחד ויחיד המקביל לישר הנתון.
124. סכום הזויות החיצוניות במצולע 360.
125. כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
126. כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע נמצאת על האנך האמצעי.
127. כל נקודה הנמצאת על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
128. כל נקודה הנמצאת על במרחקים שווים משוקי הזווית נמצאת על חוצה הזווית.
129. שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
130. שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת
שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת
כל שני אנכים אמצעיים לצלעות במשולש נחתכים
131. שטח ריבוע שצלעו ניצב אחד של משולש ישר זווית שווה לשטח מלבן שצלעותיו הן היתר וההיטל של ניצב זה על היתר. (משפט אוקלידס)
132. בכל משולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (משפט פיתגורס)
יום חמישי, 14 באפריל 2011
שאלה פתורה גיאומטריה - קטע אמצעים במשולש וטרפז
הוכחת סעיף א
EF קטע אמצעים בטרפז ABCD ומקביל ל - DC
מהקטע אמצעים אנחנו יודעים ש- AE=ED
לכן EG קטע אמצעים במשולש ADH כי הוא חוצה צלע אחת AD ומקביל לצלע השלישית DH (חלקי קטעים מקבילים)
נתון כי DH=10
לכן EG=5 -(קטע האמצעים EG במשולש ADH שווה למחצית הבסיס DH)
מ.ש.ל סעיף א
הוכחת סעיף ב
בונים בניית עזר אנך מנקודה B ל- DC בנקודה O.
במרובע ABOH כל הזויות ישרות ולכן הוא מלבן. שבו AB = HO נסמן שווה ל- x. (כלומר AB=HO=x)
מאחר והטרפז שווה שוקיים המשולשים ADH ו- BCO חופפים:
שיוויון השוקיים AD= BC, שיוויון צלעות המלבן AH = B, ושיוויון זויות DAH, CBO (הפרשי זויות זויות שוות מזויות שוות).
מהחפיפה נובע: DH = CO = 10
סכום שני בסיסי הטרפז: AB + CD = x +10 +x + 10 = 2x+20
אך גם סכום בסיסי הטרפז שווה לפעמיים קטע האמצעים EF או ל- 2*25 = 50
לכן: 2x +20 = 50
אורך בסיס קטן x= 15 : AB
ואורך בסיס גדול CD = 10+10 +15 = 35
מ.ש.ל סעיף ב
לכן EG קטע אמצעים במשולש ADH כי הוא חוצה צלע אחת AD ומקביל לצלע השלישית DH (חלקי קטעים מקבילים)
נתון כי DH=10
לכן EG=5 -(קטע האמצעים EG במשולש ADH שווה למחצית הבסיס DH)
מ.ש.ל סעיף א
הוכחת סעיף ב
בונים בניית עזר אנך מנקודה B ל- DC בנקודה O.
במרובע ABOH כל הזויות ישרות ולכן הוא מלבן. שבו AB = HO נסמן שווה ל- x. (כלומר AB=HO=x)
מאחר והטרפז שווה שוקיים המשולשים ADH ו- BCO חופפים:
שיוויון השוקיים AD= BC, שיוויון צלעות המלבן AH = B, ושיוויון זויות DAH, CBO (הפרשי זויות זויות שוות מזויות שוות).
מהחפיפה נובע: DH = CO = 10
סכום שני בסיסי הטרפז: AB + CD = x +10 +x + 10 = 2x+20
אך גם סכום בסיסי הטרפז שווה לפעמיים קטע האמצעים EF או ל- 2*25 = 50
לכן: 2x +20 = 50
אורך בסיס קטן x= 15 : AB
ואורך בסיס גדול CD = 10+10 +15 = 35
מ.ש.ל סעיף ב
יום שני, 7 במרץ 2011
יום ראשון, 6 במרץ 2011
משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת.
משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת.
שיטת ההוכחה: נקודת מפגש של שני חוצי זויות המשולש היא O, מוכיחים שמוצה זוית שלישית עובר דרך נקודה O.
קישורים:
שיטת ההוכחה: נקודת מפגש של שני חוצי זויות המשולש היא O, מוכיחים שמוצה זוית שלישית עובר דרך נקודה O.
קישורים:
יום שני, 28 בפברואר 2011
יום ראשון, 27 בפברואר 2011
יום שלישי, 22 בפברואר 2011
יום ראשון, 20 בפברואר 2011
שטח משולש ישר זוית במערכת צירים
פתרון:
סעיף אנוכיח תחילה כי משולש ABC ישר זוית
1. הקטע AB נמצא על הישר y=2
2. הקטע BC נמצא על הישר x = -3
3. הקטעים AB ו- BC מאונכים - מונחים על ישרים מאונכים
3. הקטעים AB ו- BC מאונכים - מונחים על ישרים מאונכים
4. AB = 8 - הפרש הקורדינאטות x של הנקודות A, B
5. באופן דומה BC = 6
6. שטח המשולש: ABC = 6*8/2 = 24 משולש
5. באופן דומה BC = 6
6. שטח המשולש: ABC = 6*8/2 = 24 משולש
סעיף ב
הנקודה D נמצאת על הישר x = -3 , בנוסף היא באמצע הקטע BC
לכן שיעור ה- y של הנקודה D יהיה ממוצע הקורדינטה y של B ו-C
[2+(-4)] /2 = -1
שיעור הנקודה ( D(-3, -1
סעיף ג
המשולש ABD ישר זוית מאחר וזוית B ישרה כפי שהוכח בסעיף א.
AB = 8 - הוכח בסעיף א.
BD = 3 אורך הקטע BD הוא הפרש ה- Yים של B, D כלומר : 2-(-1) = 3
השטח של המשולש ABD = AB*BD/2 = 3*8/2 = 12
סעיף ד
שטח המשולש ACD שווה להפרש שטחי המשולשים: ABC, ו- ABD
כלומר 12
הירשם ל-
רשומות (Atom)