הוכחת משפט בגיאומטריה: לזוויות מרכזיות שוות במעגל מתאימים מיתרים שווים

נתון מעגל O, ובו מיתרים AB, CD.
זוויות מרכזיות O1, O2 נשענות על המיתרים
זוית O1 = זוית O2

צריך להוכיח AB = CD

הוכחה:
OA = OC - רדיוסים במעגל O שווים
OB = OD - רדיוסים במעגל O שווים
זוית O1 = זוית O2 - נתון

מכאן משולשים OAB, OCD חופפים - צ.ז.צ

מהחפיפה נובע: AB = CD

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה: האלכסון הראשי מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים

דלתון ואלכסונו הראשי

נתון מרובע ABCD דלתון, AB = AD, BC = CD

צריך להוכיח: משולש ABC חופף למשולש ADC

הוכחה:

בניית עזר: בונים את האלכסון הראשי AC.

חפיפת משולשים ABC, ADC:
AB = AD - נתון, נובע מהגדרת הדלתון
BC = CD - נתון, נובע מהגדרת הדלתון
AC = AC - צלע משותפת
מכאן נובע:
משולש ABC חופף למשולש ADC - צ.צ.צ

מ.ש.ל

בעיה פתורה בגיאומטריה - אנכים לשוקיים במשולש ש"ש

בעיה פתורה בגיאומטריה - אנכים לשוקיים במשולש שווה שוקיים

נתון משולש שווה שוקיים AB = AC
BD ו- CE הם גבהים לשוקיים במשולש, BD מאונך ל- AC, ו- CE מאונך ל- AB

א. נוכיח שמשולשים BDC ו- CEB חופפים:
שני המשולשים הם ישרי זווית לפיכך נדרשים עוד שני שיוויונים במשולשים להוכיח חפיפתם.
זהות ראשונה: זווית CBE = זווית BCD - זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ABC שוות
זהות שניה: BC = BC - צלע משותפת
מכאן: משולשים BDC ו- CEB חופפים
מ.ש.ל א'

ב. נוכיח ש- DE||BC באמצעות משפט תאלס הפוך:
שני ישרים (BC, DE) המקצים על שוקי זווית (BAC) קטעים פרופורציונים (AE/BE = AD/DC) , מקבילים זה לזה.

(1) AB = AC - נתון
(2) BE = CD - נובע מהחפיפה שהוכחה ב- א
לכן:
(3) AE = AD , נובע מ- (1) ו- (2): חיסור גדלים שווים מגדלים שווים נותן גדלים שווים
AE/BE = AD/DC נובע מ- (2) ו- (3) חלוקת גדלים שווים מגדלים שווים נותן מנות שוות
לכן
DE||BC - משפט תאלס הפוך:
שני ישרים (BC, DE) המקצים על שוקי זווית (BAC) קטעים פרופורציונים (AE/BE = AD/DC) , מקבילים זה לזה.
מ.ש.ל ב

ג. נוכיח ש: AE*AC = AD*AB
נוכיח דימיון משולשים ABC, AED
זווית ABC = זווית AED - מתאימות מקבילים DE||BC (הוכח בסעיף ב) , חותך AB
זווית ACB = זווית ADE - מתאימות מקבילים DE||BC (הוכח בסעיף ב) , חותך AC
זווית A = זווית A - משותפת
מכאן משולשים ABC, AED דומים - משולשים ששלוש זוויותיהם (או שניים מהזוויות) שוות, דומים
מהדימיון נובע: AE/AB = AD/AC - יחסי צלעות מתאימות במשולשים דומים
מכאן AE*AC = AD*AB
מ.ש.ל

משפט בגיאומטריה: אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים

נתון כי הקטע AO חוצה זווית A כך שזווית A1 שווה לזווית A2.

AO גם תיכון לצלע BC כך ש: BO=CO
בנוסף AO אנך ל - BC.

נדרש להוכיח כי משולש ABC שווה שוקיים: AB=BC
הוכחה:
נוכיח ע"י חפיפת משולש AOB למשולש AOC ע"י ז.צ.ז.

זווית A1 = זווית A2 : נתון
AO = AO : צלע משותפת
זווית O1 = זווית O2 = זווית ישרה = 90 מעלות : נתון

מכאן משולשים AOB, AOC חופפים

מהחפיפה נובע AB=AC
ולכן משולש ABC שווה שוקיים.

מ.ש.ל

משפט בגיאומטריה: זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות

נתון משולש שווה שוקיים ABC שבו AB=AC.

נדרש להוכיח כי הזווית B שווה לזווית C.

שיטת ההוכחה:
בונים בניית עזר את התיכון AO כך ש- OC=OB
מוכיחים כי המשולש AOC חופף למשולש AOB ע"פ צ.צ.צ:
AB=AC: נתון (משולש שווה שוקיים)
OC = AO : צלע משותפת.
OC= OB : מבניית העזר

מהחפיפה נובע כי זווית B שווה לזווית C
מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה: למיתרים שווים במעגל זוויות מרכזיות שוות

ההוכחה הינה מיידית, נתון כי המיתרים CD ו- AB שווים. מבצעים חפיפת משולשים OCD ו- OAB לפי צ.צ.צ (שיוויון המיתרים והרדיוסים המהווים צלעות המשולשים) ומהחפיפה מסיקים שיוויון הזוויות המרכזיות.

הוכחת משפט בגיאומטריה - אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה

נתונה המקבילית ABCD ,
BC מקביל ל- AD,
AB מקביל ל- CD

צריך להוכיח כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה,
כלומר AO = CO , BO = DO



הוכחה:

מוכיחים חפיפת משולשים AOD ו- COB
AD = BC - צלעות נגדיות במקבילית שוות
זוית ACB = זוית CAD - פנימיות מתחלפות שוות מקבילים AD, BC
זוית DBC = זוית BDA - פנימיות מתחלפות שוות מקבילים AD, BC

מכאן נובע משולשים AOD ו- COB חופפים - ז.צ.ז

מהחפיפה נובע AO = CO , BO = DO

מ.ש.ל

בעיה פתורה בגיאומטריה, חפיפת משולשים ריבוע ומקבילית

נתון ABCD הוא מקבילית ו- BEFC ריבוע.

צריך להוכיח כי המשולשים ABE ו- DCF חופפים

הוכחה

במקבילית ABCD הצלע BA שווה ל-CD. בריבוע BEFC , הצלע EB שווה ל- FC. מאחר ו- EB מקביל ל FC ו- BA מקביל ל-CD אז הזוויות EBA ו FCD שוות.

מכאן משולשים ABE ו-DCF חופפים (צ.ז.צ):
הזוויות EBA ו FCD שוות - הוכח פיסקה קודמת.
AB = CD - צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
BE = CF - צלעות נגדיות בריבוע CBEF שוות

מ.ש.ל

בעיה פתורה - חפיפת משולשים ומשולשים שווי שוקיים

נתון משולש ABC שווה שוקיים ( BA = BC) , הנקודות M , N על הצלע AC כך ש: MA = MB וכן NB = NC.

צריך להוכיח כי המשולשים AMB ו- CNB חופפים

הוכחה:

משולש ABC שווה שוקיים (BA = BC) מכאן הזוויות BAM ו BCN שוות.

כמו כן, מאחר ו- MA שווה ל- MB, אז AMB הוא משולש שווה שוקיים וזוויות BAM ו ABM שוות. NB ו NC שוות גם; CNB הוא משולש שווה שוקיים וזוויות CBN ו BCN שוות. למעשה כל ארבע זוויות BAM, ABM, CBN ו BCN שוות. השוואה בין המשולשים BAM ו CNB, הם בעלי צלעות שוות AB = BC וזוית BAM שווה לזוית BCN , וזוית ABM שווה לזוית CBN. לכן המשולשים BAM ו- CNB חופפים. (ז.צ.ז)

מ.ש.ל

תרגיל בגיאומטריה - טרפז ישר זוית

פתרון סעיף א



פתרון סעיף ב

בעיה מקבילית וחפיפת משולשים

פתרון

סעיף א: הוכח BF=BL

חפיפת משולשים ALB ו- BCF

BC=AD צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
AD=AL צלעות בריבוע ADKL

מכאן נובע: BC=AL - זהות 1

AB=CD צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
CD=CF צלעות של ריבוע CDEF שוות

מכאן נובע AB=CF - זהות 2

זוית BCD = זוית BAD - זויות נגדיות במקבילית ABCD שוות
זוית DCF = זוית DAL = 90 מעלות - זויות בריבועים ישרות

מכאן נובע: זוית BCF = זוית BAL - סכום של זויות שוות זהה - זהות 3

מזהויות 1, 2, 3 נובע שמשולשים BCF ו- BAL חופפים - זהות 4

מהחפיפה נובע: BF=BL - מה שנדרש להוכיח בסעיף 1


סעיף 2 - הוכח ש- BF מאונך ל- BL

בעיה בגיאומטריה, ריבועים וחפיפת משולשים

בעיה בגיאומטריה, ריבועים וחפיפת משולשים


פתרון