בעיה פתורה בגיאומטריה - שני גבהים לצלעות במשולש שווים

מפתרון הבעיה להלן ניתן ללמוד משפט בגיאומטריה: אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות.

נתון
במשולש ABC הגבהים BD ו- CE נפגשים בנקודה F. נתון כי BD = CE הוכיחו כי:
א. המשולש ABC שווה שוקיים.
ב. FC = BF
ג. AD = AE





פתרון

 

בעיה פתורה בגיאומטריה עם משפט חוצה זווית ומשפט תאלס הפוך

נתון:
משולש ABC
AD הוא תיכון לצלע BC.
DE חוצה את הזווית ADB.
DF חוצה את הזווית ADC.

הוכח:
EF || BC (מקביל).

נוכיח באמצעות משפט חוצה זווית במשולשים ADC, ו- ABD, ותיכון לצלע BC, יחסים שווים בקטעים AF, CF ו- AE, BE. ובעזרת משפט תאלס הפוך נראה מקבילות EF ו - BC.

הוכחה:
1. AF/FC = AD/CD - ע"פ משפט חוצה זווית - FD הוא חוצה זווית במשולש ADC ומחלק את הצלע מול הזווית אותה חוצה לקטעים פרופורציונים לצלעות AD, CD
2. באופן דומה מוכיחים AE/BE = AD/BD
3. BD = CD - נתון - AD הוא תיכון לצלע BC.
4. AD/BD = AD/CD - נובע מ- 3
5. AE/BE = AF/FC - נובע מ- 1,2, 4
6. EF || BC - נובע מ-5 ומשפט תאלס הפוך - שני ישרים המקצים על שוקי זוית קטעים פרופורציונים – מקבילים זה לזה.

מ.ש.ל

תרגיל פתור בגיאומטריה - מקבילית חסומה במשולש שווה שוקיים

שאלה

בתוך משולש ABC חסומה מקבילית DEFG.
נתון AC = BC , DB = DG = CF
חשב את זוויות המשולש ABC.

פתרון

על מנת לפתור את התרגיל נסמן ב- x את זוית B, ונמצא את זוויות נוספות בסקיצה כפונציה של x. לאחר מכן נמצא משוואה של קשר מסוים בין הזוויות ונחלץ את x.

1. כאמור נקבע
2. מכאן - הצלעות AC = BC - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש ABC
3. מכאן - משלימה את זוויות A, B ל- 180 במשולש ABC
4. EF = DG - צלעות נגדיות במקבילית שוות
5. CF = DG - נתון
6. CF = EF - נובע מ- 4, 5
7. - נובע מ- 6 - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש CEF
8. - נובע מ- 3, 7

9. - זוויות מתאימות - DE מקביל ל - BC , חותך AB
10. - נובע מ- 9,1
11. - משלימה את זוויות A, ADE ל- 180 במשולש ADE

12. DB = DG - נתון
13. - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש DGB
14. - נובע מ- 1, 13
15. - צמודה לזוית DGB השווה ל- x
16. - נגדית לזווית FGD במקבילית DEFG - זויות נגדיות במקבילית שוות

17. הזוויות AED, DEF, CEF נמצאות על הקטע AC ולכן סכומן 180 מעלות - סכום זוויות על ישר 180 מעלות
18. - נובע מ- 8, 11, 16,17
19. - פתרון משוואה 18

מכאן:

20. - נובע מ- 19, 1,2,3

מ.ש.ל

בעיה פתורה - חפיפת משולשים ומשולשים שווי שוקיים

נתון משולש ABC שווה שוקיים ( BA = BC) , הנקודות M , N על הצלע AC כך ש: MA = MB וכן NB = NC.

צריך להוכיח כי המשולשים AMB ו- CNB חופפים

הוכחה:

משולש ABC שווה שוקיים (BA = BC) מכאן הזוויות BAM ו BCN שוות.

כמו כן, מאחר ו- MA שווה ל- MB, אז AMB הוא משולש שווה שוקיים וזוויות BAM ו ABM שוות. NB ו NC שוות גם; CNB הוא משולש שווה שוקיים וזוויות CBN ו BCN שוות. למעשה כל ארבע זוויות BAM, ABM, CBN ו BCN שוות. השוואה בין המשולשים BAM ו CNB, הם בעלי צלעות שוות AB = BC וזוית BAM שווה לזוית BCN , וזוית ABM שווה לזוית CBN. לכן המשולשים BAM ו- CNB חופפים. (ז.צ.ז)

מ.ש.ל

גיאומטריה - מלבן חסום במעגל - תרגיל פתור

גיאומטריה - בעיה פתורה מלבן משולש שווה שוקיים וקטע אמצעים

גיאומטריה - בעיה פתורה מלבן משולש שווה שוקיים וקטע אמצעים

בעיה מקבילית וחפיפת משולשים

פתרון

סעיף א: הוכח BF=BL

חפיפת משולשים ALB ו- BCF

BC=AD צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
AD=AL צלעות בריבוע ADKL

מכאן נובע: BC=AL - זהות 1

AB=CD צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
CD=CF צלעות של ריבוע CDEF שוות

מכאן נובע AB=CF - זהות 2

זוית BCD = זוית BAD - זויות נגדיות במקבילית ABCD שוות
זוית DCF = זוית DAL = 90 מעלות - זויות בריבועים ישרות

מכאן נובע: זוית BCF = זוית BAL - סכום של זויות שוות זהה - זהות 3

מזהויות 1, 2, 3 נובע שמשולשים BCF ו- BAL חופפים - זהות 4

מהחפיפה נובע: BF=BL - מה שנדרש להוכיח בסעיף 1


סעיף 2 - הוכח ש- BF מאונך ל- BL