הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית

נתון

מרובע ABCD שבו זוויות נגדיות שוות

צריך להוכיח

מרובע ABCD - מקבילית

הוכחה

נסמן את זוויות המרובע ב- a, b

לפי משפט סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות, מתקיים:

2a+2b=360

נחלק ב-2 ונקבל:

a+b=180

כלומר סכום זוויות חד צדדיות פנימיות במרובע ABCD הוא 180 מעלות
לכן
מכאן
AD||BC - שני ישרים (AD, BC) נחתכים על ידי ישר שלישי (AB). אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא אז שני הישרים מקבילים.

באותה דרך ניתן להוכיח מקבילות AB||CD

מכאן מרובע ABCD מקבילית

מ.ש.ל

תרגיל פתור בגיאומטריה - מקבילית חסומה במשולש שווה שוקיים

שאלה

בתוך משולש ABC חסומה מקבילית DEFG.
נתון AC = BC , DB = DG = CF
חשב את זוויות המשולש ABC.

פתרון

על מנת לפתור את התרגיל נסמן ב- x את זוית B, ונמצא את זוויות נוספות בסקיצה כפונציה של x. לאחר מכן נמצא משוואה של קשר מסוים בין הזוויות ונחלץ את x.

1. כאמור נקבע
2. מכאן - הצלעות AC = BC - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש ABC
3. מכאן - משלימה את זוויות A, B ל- 180 במשולש ABC
4. EF = DG - צלעות נגדיות במקבילית שוות
5. CF = DG - נתון
6. CF = EF - נובע מ- 4, 5
7. - נובע מ- 6 - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש CEF
8. - נובע מ- 3, 7

9. - זוויות מתאימות - DE מקביל ל - BC , חותך AB
10. - נובע מ- 9,1
11. - משלימה את זוויות A, ADE ל- 180 במשולש ADE

12. DB = DG - נתון
13. - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש DGB
14. - נובע מ- 1, 13
15. - צמודה לזוית DGB השווה ל- x
16. - נגדית לזווית FGD במקבילית DEFG - זויות נגדיות במקבילית שוות

17. הזוויות AED, DEF, CEF נמצאות על הקטע AC ולכן סכומן 180 מעלות - סכום זוויות על ישר 180 מעלות
18. - נובע מ- 8, 11, 16,17
19. - פתרון משוואה 18

מכאן:

20. - נובע מ- 19, 1,2,3

מ.ש.ל

משפט בגיאומטריה: זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו

נתונה מקבילית ABCD

נוכיח כי זווית B שווה לזווית D

תחילה בונים בניית עזר את האלכסון BD,
זווית B1 = זווית D1 - פנימיות מתחלפות AB||CD חותך BD
זווית B2 = זווית D2 - פנימיות מתחלפות AD||BC חותך BD

מכאן : זווית B1 + זווית B2 = זווית D1 + זווית D2
מכאן: זווית B = זווית D
מ.ש.ל

באותה דרך ניתן לבנות האלכסון AC כבניתת עזר ולהוכיח שיוויון זוויות A ו- C.