הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.

 הוכח את המשפט: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.
 מוכיחים עבור זוג זויות פנימיות מתחלפות אחד, שאר השיוויונות ניתנים להוכחה בדרך דומה.

 נתון: שני ישרים מקבילים: CD||EF , ישר AP חותך את המקבילים בנקודות O, P

צ"ל:    COP = ∡OPF ∡

הוכחה:

טענה	#	נימוק
∡COP+∡DOP = 180º	(1)	סכום שתי זוויות סמוכות הוא 180º
∡OPF+∡DOP = 180º	(2)	סכום שתי זוויות פנימיות וחד-צדדיות בישרים מקבילים
∡COP+∡DOP = ∡OPF+∡DOP	(3)	שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1 ו- 2
COP = ∡OPF ∡	(4)	חישוב מטענה

הוכחת המשפט בגיאומטריה: אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה, קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה

הוכחת המשפט בגיאומטריה: אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה, קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה

נתון משולש ABC   שבו  AC > AB

צ"ל:    C < ∡B ∡

הוכחה:

בונים בניית עזר את הקטע BD  כך שנקודה D  על הצלע AC

 ו- AB = AD

נתבונן במשולש ABD:  AB = AD – נתון מבניית עזר

D₁∡ = B₁∡ - במשולש ABD מול צלעות שוות זוויות שוות    [1]

C∡ < ₁D∡ - זוית חיצונית למשולש BDC  גדולה מזוויות המשולש שאינן צמודות לה.  [2]

מכאן נובע:  C∡ < B₁∡  - נובע מ- [1] ו- [2]

B₁∡ < B∡ - השלם גדול מחלקו

לכן : C < ∡B∡ מ.ש.ל 

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי סכום שתי זוויות חד-צדדיות פנימיות הוא 180º

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי סכום שתי זוויות חד-צדדיות פנימיות הוא 180º

נתונים שני ישרים מקבילים a, b וחותך היוצר זויות 1,2 בין הישרים לחותך.

זויות חד צדדיות פנימיות, סכומן 180 מעלות

הוכחה

משפט זה ניתן להגדיר על דרך השלילה של אקסיומת הישרים המקבילים. אם שני ישרים הנחתכים על-ידי ישר שלישי אינם יוצרים באף צד של החיתוך זוג זוויות פנימיות שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים לעולם לא יפגשו גם אם נאריכם עד לאינסוף. כלומר, במקרה שלעיל שני הישרים הם ישרים מקבילים.

הוכחת משפט בגיאומטריה: מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן

מלבן עם אלכסונים

נתון
מרובע ABCD מקבילית: AB||CD , AD||BC
אלכסוני המקבילית שווים: AC = BD

צריך להוכיח
מרובע ABCD - מלבן

הוכחה
נוכיח חפיפת משולשים ABC , BCD :
AB = CD - צלעות נגדיות במקבילית שוות
BC = BC - צלע משותפת
AC = BD - נתון
מכאן: משולשים ABC , BCD חופפים - צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:
1. - מול צלעות שוות במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות
2. אך: - סכום זוויות חד צדדיות פנימיות במקבילית שווה 180 מעלות

לכן: - נובע מ- 1,2
באותה דרך מוכיחים כי

מכאן כל זוויות המרובע ABCD ישרות, וצלעותיו הנגדיות שוות (במקבילית צלעות נגדיות שוות)
לכן מרובע ABCD מלבן

מ.ש.ל

קישורים:

• במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות
• במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
• במקבילית כל זוג צלעות נגדיות שוות
• במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180
• אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית

נתון

מרובע ABCD שבו זוויות נגדיות שוות

צריך להוכיח

מרובע ABCD - מקבילית

הוכחה

נסמן את זוויות המרובע ב- a, b

לפי משפט סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות, מתקיים:

2a+2b=360

נחלק ב-2 ונקבל:

a+b=180

כלומר סכום זוויות חד צדדיות פנימיות במרובע ABCD הוא 180 מעלות
לכן
מכאן
AD||BC - שני ישרים (AD, BC) נחתכים על ידי ישר שלישי (AB). אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא אז שני הישרים מקבילים.

באותה דרך ניתן להוכיח מקבילות AB||CD

מכאן מרובע ABCD מקבילית

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית

נתון

מרובע ABCD שאלכסוניו AC, BD חוצים זה את זה
AO = CO , BO = DO

צריך להוכיח

מרובע ABCD - מקבילית
AD||BD , AB||CD

הוכחה

נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
AO = CO , BO = DO - נתון
- קודקודיות
מכאן משולשים AOD, BOC חופפים - צ.ז.צ

מהחפיפה נובע:
- מול צלעות שוות (BO = DO) במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות

מכאן
AD||BC - שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי (AC). אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים.

באותה דרך ניתן להוכיח מקבילות צלעות המרובע AB||CD, ע"י חפיפת משולשים AOB, COD ושיוויון זוויות פנימיות מתחלפות BAC, ACD

לכן מרובע ABCD מקבילית

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית

נתון:

מרובע ABCD
AD = BC , AD||BC

צריך להוכיח:
ABCD מקבילית, כלומר AB||CD

הוכחה
בניית עזר - בונים את אלכסוני המרובע AC, BD
נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
AD = BC - נתון
- פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך AC
- פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך BD
מכאן, משולשים AOD, BOC חופפים, ז.צ.ז

מהחפיפה נובע:
AO = CD , BO = DO מול זוויות שוות במשולשים חופפים מונחות צלעות שוות
כלומר האלכסונים AC, BD של המרובע ABCD חוצים זה את זה

מכאן מרובע ABCD מקבילית - אם במרובע האלכסונים חוצים אחד את השני המרובע הוא מקבילית
מכאן AB||CD

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית

נתון
ABCD מרובע, AC ו- BD אלכסונים במרובע
AO = CO
BO = DO

צריך להוכיח:
ABCD - מקבילית
כלומר AD||BC , AB||CD

הוכחה:
נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
1. AO = CO - נתון
2. BO = DO - נתון
3. - קודקודיות
לכן משולשים AOD, BOC - צ.ז.צ

מהחפיפה נובע:
- מול צלעות שוות במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות
לכן BC||AD - אם בין שני קטעים וחותך (AC) יש זוויות פנימיות מתחלפות שוות הקטעים מקבילים.

בדרך דומה ניתן להוכיח מקבילות AB||CD, לפי חפיפת משולשים AOB, COD ושיווין זוויות BAC, ACD.

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית

נתון מרובע ABCD
AB = CD , BC = AD

צריך להוכיח: מרובע ABCD מקבילית , AB||CD , AD||BC

הוכחה:
בניית עזר - בונים את האלכסון AC

נוכיח חפיפת משולשים ABC, ADC

1. AB = CD - נתון
2. BC = AD - נתון
3. AC = AC - צלע משותפת
4. משולש ABC חופף למשולש ADC - נובע מ- 1,2,3 - צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:
5. - זוויות מול צלעות שוות במשולשים חופפים שוות
ולכן:
6. AD||BC - אם בין שני ישרים וחותך (AC) זוויות פנימיות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים

באותה דרך מוכיחים כי AB||BC משיוויון זוויות A2, C2

הוכחת משפט בגיאומטריה - במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180

נתונה מקבילית ABCD שבה AB||CD , AD||BC

צריך להוכיח:


הוכחה:
בניית עזר ממשיכים את הקטע AD ליצירת זווית A2


1. - זוויות מתאימות שוות, מקבילים AB||CD , חותך AD

2. - צמודות

3. - בהצבה, נובע מ-1 ו-2

מ.ש.ל

הוכחת משפט חוצה זווית הפוך: ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית ביחס של שתי הצלעות האחרות בהתאמה, חוצה את זווית המשולש

משפט חוצה זווית הפוך: ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר .

נתון:
1.


צ"ל:


הוכחה:
2. ב"ע - נעביר מקביל מנקודה C לצלע AD עד למפגש עם המשך AB, כך ש: AD||CE

3. (משפט תלס לפי 2)

4. (כלל מעבר לפי 1,3 + חישוב)

5. (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו לפי 2)

6. (במש"ש זוויות הבסיס שוות זו לזו לפי 4)

7. (הזוויות המתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו לפי 2)

8. (כלל מעבר לפי 5,6,7)

מ.ש.ל.

הוכחת משפט בגיאומטריה: כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.

נתון מעגל O ובו זוויות היקפיות BAC ו- CDB הנשענות על קשת BC, נכנה אותן זוית A וזוית D בהתאמה.

צריך להוכיח: זוית A = זוית D

בניית עזר: בונית את הקטעים OC ו- OB , נוצרת זוית מרכזית BOC הנשענת על קשת BC, נכנה אותה זוית O.

הוכחה:

1. זוית A = חצי זוית O - שתי הזוויות נשענות על קשת BC וזוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

2. זוית D = חצי זוית O - שתי הזוויות נשענות על קשת BC וזוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

לכן: זוית A = זוית D - נובע מ-1 ו- 2 - שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים גם ביניהם.

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה: לזוויות מרכזיות שוות במעגל מתאימים מיתרים שווים

נתון מעגל O, ובו מיתרים AB, CD.
זוויות מרכזיות O1, O2 נשענות על המיתרים
זוית O1 = זוית O2

צריך להוכיח AB = CD

הוכחה:
OA = OC - רדיוסים במעגל O שווים
OB = OD - רדיוסים במעגל O שווים
זוית O1 = זוית O2 - נתון

מכאן משולשים OAB, OCD חופפים - צ.ז.צ

מהחפיפה נובע: AB = CD

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - זוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

נתון מעגל O זוית מרכזית BOC וזוית היקפית BAC הנשענות על קשת BC.

צריך להוכיח:


הוכחה:
נוכיח שזוויות OAC ו- OCA שוות
OA = OC - רדיוסים במעגל O
לכן משולש AOC שווה שוקיים
מכאן הזוויות OAC ו- OCA שוות - זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
נסמן את זוויות OAC ו- OCA ב- x

נוכיח שזוויות OAB ו- OBA שוות

OA = OB - רדיוסים במעגל O
לכן משולש AOB שווה שוקיים
מכאן הזוויות OAB ו- OBA שוות - זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
נסמן את זוויות OAB ו- OBA ב- y

- סכום זוויות במשולש 180 מעלות
1. לכן:

- סכום זוויות במשולש 180 מעלות
2. לכן

- סכום זוויות צמודות סביב נקודה הוא 360 מעלות
- בהצבה שיוויונים 1 ו- 2
נפתח:

לפי הסקיצה: x+y = זוית BAC

נציב ונקבל:


מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה: זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה

נתון: משולש ABC שבו שלשה זוויות פנימיות A, B1, C וזוית חיצונית B2 הצמודה לזווית B1.

צריך להוכיח: זוית B2 = זוית A + זוית C

הוכחה:

1. זוית B1 וזוית B2 צמודות ולכן סכומן 180 מעלות
2. זויות B1 וזויות A, C הן זויות המשולש ולכן סכומן 180 מעלות - סכום זויות המשולש 180 מעלות

מכאן זוית B2 = זוית A + זוית C - נובע מ-1 ו-2. שני הגדלים משלימים עם זוית B1 ל- 180 מעלות ולכן הגדלים שווים.

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה: הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר

הוכחת משפט בגיאומטריה: הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר