הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.

 הוכח את המשפט: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.
 מוכיחים עבור זוג זויות פנימיות מתחלפות אחד, שאר השיוויונות ניתנים להוכחה בדרך דומה.

 נתון: שני ישרים מקבילים: CD||EF , ישר AP חותך את המקבילים בנקודות O, P

צ"ל:    COP = ∡OPF ∡

הוכחה:

טענה	#	נימוק
∡COP+∡DOP = 180º	(1)	סכום שתי זוויות סמוכות הוא 180º
∡OPF+∡DOP = 180º	(2)	סכום שתי זוויות פנימיות וחד-צדדיות בישרים מקבילים
∡COP+∡DOP = ∡OPF+∡DOP	(3)	שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1 ו- 2
COP = ∡OPF ∡	(4)	חישוב מטענה

סוגי זויות בין שני ישרים מקבילים והיחסים ביניהן

נתונים שני ישרים מקבילים a, b וחותך היוצר זויות 1,2 בין הישרים לחותך.

זויות חד צדדיות חיצוניות סכומן 180 מעלות

זויות חד צדדיות חיצוניות סכומן 180 מעלות

זויות חד צדדיות פנימיות, סכומן 180 מעלות

זויות חד צדדיות פנימיות, סכומן 180 מעלות

הוכחה

משפט זה ניתן להגדיר גם משפט על דרך השלילה של אקסיומת הישרים המקבילים. אם שני ישרים הנחתכים על-ידי ישר שלישי אינם יוצרים באף צד של החיתוך זוג זוויות פנימיות שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים לעולם לא יפגשו גם אם נאריכם עד לאינסוף. כלומר, במקרה שלעיל שני הישרים הם ישרים מקבילים.

זויות חיצוניות מתחלפות שוות זו לזו

זויות חיצוניות מתחלפות שוות זו לזו

זויות חד צדדיות שוות זו לזו

זויות חד צדדיות שוות זו לזו

זויות פנימיות מתחלפות שוות זו לזו

זויות פנימיות מתחלפות שוות זו לזו