בעיה פתורה בגיאומטריה - מעוין חסום בטרפז

פתור את בעיית ההוכחה

פתרון

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.

 הוכח את המשפט: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.
 מוכיחים עבור זוג זויות פנימיות מתחלפות אחד, שאר השיוויונות ניתנים להוכחה בדרך דומה.

 נתון: שני ישרים מקבילים: CD||EF , ישר AP חותך את המקבילים בנקודות O, P

צ"ל:    COP = ∡OPF ∡

הוכחה:

טענה	#	נימוק
∡COP+∡DOP = 180º	(1)	סכום שתי זוויות סמוכות הוא 180º
∡OPF+∡DOP = 180º	(2)	סכום שתי זוויות פנימיות וחד-צדדיות בישרים מקבילים
∡COP+∡DOP = ∡OPF+∡DOP	(3)	שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1 ו- 2
COP = ∡OPF ∡	(4)	חישוב מטענה

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות מתאימות הן זהות

משפט: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות מתאימות הן זהות

נתון: שני ישרים מקבילים: CD||EF , ישר AP חותך את המקבילים בנקודות O, P

צ"ל:    AOD = ∡OPF ∡

טענה	נימוק
∡AOD+∡DOP = 180º	(1)	סכום שתי זוויות צמודות הוא 180º
∡OPF+∡DOP = 180º	(2)	סכום שתי זוויות פנימיות וחד-צדדיות בישרים מקבילים
∡AOD+∡DOP = ∡OPF+∡DOP	(3)	שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1 ו- 2
AOD = ∡OPF ∡	(4)	חישוב מטענה

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי סכום שתי זוויות חד-צדדיות פנימיות הוא 180º

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי סכום שתי זוויות חד-צדדיות פנימיות הוא 180º

נתונים שני ישרים מקבילים a, b וחותך היוצר זויות 1,2 בין הישרים לחותך.

זויות חד צדדיות פנימיות, סכומן 180 מעלות

הוכחה

משפט זה ניתן להגדיר על דרך השלילה של אקסיומת הישרים המקבילים. אם שני ישרים הנחתכים על-ידי ישר שלישי אינם יוצרים באף צד של החיתוך זוג זוויות פנימיות שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים לעולם לא יפגשו גם אם נאריכם עד לאינסוף. כלומר, במקרה שלעיל שני הישרים הם ישרים מקבילים.

סוגי זויות בין שני ישרים מקבילים והיחסים ביניהן

נתונים שני ישרים מקבילים a, b וחותך היוצר זויות 1,2 בין הישרים לחותך.

זויות חד צדדיות חיצוניות סכומן 180 מעלות

זויות חד צדדיות חיצוניות סכומן 180 מעלות

זויות חד צדדיות פנימיות, סכומן 180 מעלות

זויות חד צדדיות פנימיות, סכומן 180 מעלות

הוכחה

משפט זה ניתן להגדיר גם משפט על דרך השלילה של אקסיומת הישרים המקבילים. אם שני ישרים הנחתכים על-ידי ישר שלישי אינם יוצרים באף צד של החיתוך זוג זוויות פנימיות שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים לעולם לא יפגשו גם אם נאריכם עד לאינסוף. כלומר, במקרה שלעיל שני הישרים הם ישרים מקבילים.

זויות חיצוניות מתחלפות שוות זו לזו

זויות חיצוניות מתחלפות שוות זו לזו

זויות חד צדדיות שוות זו לזו

זויות חד צדדיות שוות זו לזו

זויות פנימיות מתחלפות שוות זו לזו

זויות פנימיות מתחלפות שוות זו לזו

אקסיומת המקבילים - היסוד החמישי של אויקלידס

בחיתוך של שני ישרים a,b  על-ידי ישר שלישי c נוצרו שתי זויות חד צדדיות פנימיות אלפא ובטא שסכומן קטן מ- 180 מעלות.

היסוד החמישי של אויקלידס טוען שאם בחיתוך קו שלישי החותך שני קווים אחרים קיים זוג זוויות פנימיות באותו הצד שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים נחתכים באותו הצד של זוג הזוויות הפנימיות הללו.

כלומר, לפי המשפט שלעיל שני הישרים a, b יחתכו רק אם קיים זוג זוויות פנימיות חד-צדדיות (מצד ימין או מצד שמאל של הישר השלישי) שסכומן קטן מ- 180º.

משפט זה הנו אקסיומה ולכן אינו ניתן להוכחה.

סכום הזויות חד צדדיות פנימיות אלפא ובטא קטן מ- 180 מעלות ולכן הישרים לא מקבילים

טענה זו שקולה לניסוח המקובל של האקסיומה, הקובע כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון".

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית

נתון מרובע ABCD
AB = CD , BC = AD

צריך להוכיח: מרובע ABCD מקבילית , AB||CD , AD||BC

הוכחה:
בניית עזר - בונים את האלכסון AC

נוכיח חפיפת משולשים ABC, ADC

1. AB = CD - נתון
2. BC = AD - נתון
3. AC = AC - צלע משותפת
4. משולש ABC חופף למשולש ADC - נובע מ- 1,2,3 - צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:
5. - זוויות מול צלעות שוות במשולשים חופפים שוות
ולכן:
6. AD||BC - אם בין שני ישרים וחותך (AC) זוויות פנימיות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים

באותה דרך מוכיחים כי AB||BC משיוויון זוויות A2, C2

הוכחת משפט בגיאומטריה - במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180

נתונה מקבילית ABCD שבה AB||CD , AD||BC

צריך להוכיח:


הוכחה:
בניית עזר ממשיכים את הקטע AD ליצירת זווית A2


1. - זוויות מתאימות שוות, מקבילים AB||CD , חותך AD

2. - צמודות

3. - בהצבה, נובע מ-1 ו-2

מ.ש.ל

משפט תאלס - שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציונים

שני ישרים מקבילים חותכים שוקי זוית

משפט תאלס קובע שאם DE||BC

אזי מתקיים יחס הפרופורציה: AB/AD = AC/AE

כמו כן מתקיימות ע"פ חוקי יחסי פרופורציה ניתן להוכיח:
AB/BD = AC/CE
AD/BD = AE/CE

 




קישורים:

• משפט תאלס ההפוך: שני ישרים המקצים על שוקי זוית קטעים פרופורציונים – מקבילים זה לזה.

משפט בגיאומטריה: זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו

נתונה מקבילית ABCD

נוכיח כי זווית B שווה לזווית D

תחילה בונים בניית עזר את האלכסון BD,
זווית B1 = זווית D1 - פנימיות מתחלפות AB||CD חותך BD
זווית B2 = זווית D2 - פנימיות מתחלפות AD||BC חותך BD

מכאן : זווית B1 + זווית B2 = זווית D1 + זווית D2
מכאן: זווית B = זווית D
מ.ש.ל

באותה דרך ניתן לבנות האלכסון AC כבניתת עזר ולהוכיח שיוויון זוויות A ו- C.

משפט בגיאומטריה: סכום הזויות במשולש 180 מעלות

שיטת ההוכחה - בונים מקביל a לבסיס המשולש AB העובר דרך קודקוד C. מוכיחים כי הזוויות הנוצרות בין המקביל לצלעות המשולש שוות לזוויות המשולש ע"פ שיוויון זוויות בין מקבילים וחותך, סכום הזוויות על המקביל a שווה 180 מעלות ולכן סכום זוויות המשולש שווה 180 מעלות

הוכחת משפט בגיאומטריה - אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה

נתונה המקבילית ABCD ,
BC מקביל ל- AD,
AB מקביל ל- CD

צריך להוכיח כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה,
כלומר AO = CO , BO = DO



הוכחה:

מוכיחים חפיפת משולשים AOD ו- COB
AD = BC - צלעות נגדיות במקבילית שוות
זוית ACB = זוית CAD - פנימיות מתחלפות שוות מקבילים AD, BC
זוית DBC = זוית BDA - פנימיות מתחלפות שוות מקבילים AD, BC

מכאן נובע משולשים AOD ו- COB חופפים - ז.צ.ז

מהחפיפה נובע AO = CO , BO = DO

מ.ש.ל

בעיה פתורה בגיאומטריה, חפיפת משולשים ריבוע ומקבילית

נתון ABCD הוא מקבילית ו- BEFC ריבוע.

צריך להוכיח כי המשולשים ABE ו- DCF חופפים

הוכחה

במקבילית ABCD הצלע BA שווה ל-CD. בריבוע BEFC , הצלע EB שווה ל- FC. מאחר ו- EB מקביל ל FC ו- BA מקביל ל-CD אז הזוויות EBA ו FCD שוות.

מכאן משולשים ABE ו-DCF חופפים (צ.ז.צ):
הזוויות EBA ו FCD שוות - הוכח פיסקה קודמת.
AB = CD - צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
BE = CF - צלעות נגדיות בריבוע CBEF שוות

מ.ש.ל

קוים מקבילים

שני קווים (ישרים) באותו מישור שאינם מצטלבים נקראים קווים מקבילים. אנו אומרים כי שני קטעים מקבילים אם הם שוכבים על מקבילים. אם קו 1 מקביל לקו 2, אנחנו כותבים את זה כך:

קו 1 | | קו 2

כאשר שני קטעים DC ו- AB מונחים על קווים מקבילים, אנחנו כותבים את זה:

DC | | AB

דוגמה: קו 1 וקו 2 לעיל מקבילים