הוכחת משפט בגיאומטריה: מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן

מלבן עם אלכסונים

נתון
מרובע ABCD מקבילית: AB||CD , AD||BC
אלכסוני המקבילית שווים: AC = BD

צריך להוכיח
מרובע ABCD - מלבן

הוכחה
נוכיח חפיפת משולשים ABC , BCD :
AB = CD - צלעות נגדיות במקבילית שוות
BC = BC - צלע משותפת
AC = BD - נתון
מכאן: משולשים ABC , BCD חופפים - צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:
1. - מול צלעות שוות במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות
2. אך: - סכום זוויות חד צדדיות פנימיות במקבילית שווה 180 מעלות

לכן: - נובע מ- 1,2
באותה דרך מוכיחים כי

מכאן כל זוויות המרובע ABCD ישרות, וצלעותיו הנגדיות שוות (במקבילית צלעות נגדיות שוות)
לכן מרובע ABCD מלבן

מ.ש.ל

קישורים:

• במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות
• במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
• במקבילית כל זוג צלעות נגדיות שוות
• במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180
• אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית

נתון

מרובע ABCD שאלכסוניו AC, BD חוצים זה את זה
AO = CO , BO = DO

צריך להוכיח

מרובע ABCD - מקבילית
AD||BD , AB||CD

הוכחה

נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
AO = CO , BO = DO - נתון
- קודקודיות
מכאן משולשים AOD, BOC חופפים - צ.ז.צ

מהחפיפה נובע:
- מול צלעות שוות (BO = DO) במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות

מכאן
AD||BC - שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי (AC). אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים.

באותה דרך ניתן להוכיח מקבילות צלעות המרובע AB||CD, ע"י חפיפת משולשים AOB, COD ושיוויון זוויות פנימיות מתחלפות BAC, ACD

לכן מרובע ABCD מקבילית

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית

נתון:

מרובע ABCD
AD = BC , AD||BC

צריך להוכיח:
ABCD מקבילית, כלומר AB||CD

הוכחה
בניית עזר - בונים את אלכסוני המרובע AC, BD
נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
AD = BC - נתון
- פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך AC
- פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך BD
מכאן, משולשים AOD, BOC חופפים, ז.צ.ז

מהחפיפה נובע:
AO = CD , BO = DO מול זוויות שוות במשולשים חופפים מונחות צלעות שוות
כלומר האלכסונים AC, BD של המרובע ABCD חוצים זה את זה

מכאן מרובע ABCD מקבילית - אם במרובע האלכסונים חוצים אחד את השני המרובע הוא מקבילית
מכאן AB||CD

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית

נתון
ABCD מרובע, AC ו- BD אלכסונים במרובע
AO = CO
BO = DO

צריך להוכיח:
ABCD - מקבילית
כלומר AD||BC , AB||CD

הוכחה:
נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
1. AO = CO - נתון
2. BO = DO - נתון
3. - קודקודיות
לכן משולשים AOD, BOC - צ.ז.צ

מהחפיפה נובע:
- מול צלעות שוות במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות
לכן BC||AD - אם בין שני קטעים וחותך (AC) יש זוויות פנימיות מתחלפות שוות הקטעים מקבילים.

בדרך דומה ניתן להוכיח מקבילות AB||CD, לפי חפיפת משולשים AOB, COD ושיווין זוויות BAC, ACD.

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה

נתונה המקבילית ABCD ,
BC מקביל ל- AD,
AB מקביל ל- CD

צריך להוכיח כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה,
כלומר AO = CO , BO = DO



הוכחה:

מוכיחים חפיפת משולשים AOD ו- COB
AD = BC - צלעות נגדיות במקבילית שוות
זוית ACB = זוית CAD - פנימיות מתחלפות שוות מקבילים AD, BC
זוית DBC = זוית BDA - פנימיות מתחלפות שוות מקבילים AD, BC

מכאן נובע משולשים AOD ו- COB חופפים - ז.צ.ז

מהחפיפה נובע AO = CO , BO = DO

מ.ש.ל