הוכחת משפט בגיאומטריה: מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן

מלבן עם אלכסונים

נתון
מרובע ABCD מקבילית: AB||CD , AD||BC
אלכסוני המקבילית שווים: AC = BD

צריך להוכיח
מרובע ABCD - מלבן

הוכחה
נוכיח חפיפת משולשים ABC , BCD :
AB = CD - צלעות נגדיות במקבילית שוות
BC = BC - צלע משותפת
AC = BD - נתון
מכאן: משולשים ABC , BCD חופפים - צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:
1. - מול צלעות שוות במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות
2. אך: - סכום זוויות חד צדדיות פנימיות במקבילית שווה 180 מעלות

לכן: - נובע מ- 1,2
באותה דרך מוכיחים כי

מכאן כל זוויות המרובע ABCD ישרות, וצלעותיו הנגדיות שוות (במקבילית צלעות נגדיות שוות)
לכן מרובע ABCD מלבן

מ.ש.ל

קישורים:

• במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות
• במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
• במקבילית כל זוג צלעות נגדיות שוות
• במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180
• אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית
• אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע כל זוג זווית נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית

נתון

מרובע ABCD שבו זוויות נגדיות שוות

צריך להוכיח

מרובע ABCD - מקבילית

הוכחה

נסמן את זוויות המרובע ב- a, b

לפי משפט סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות, מתקיים:

2a+2b=360

נחלק ב-2 ונקבל:

a+b=180

כלומר סכום זוויות חד צדדיות פנימיות במרובע ABCD הוא 180 מעלות
לכן
מכאן
AD||BC - שני ישרים (AD, BC) נחתכים על ידי ישר שלישי (AB). אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא אז שני הישרים מקבילים.

באותה דרך ניתן להוכיח מקבילות AB||CD

מכאן מרובע ABCD מקבילית

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית

נתון

מרובע ABCD שאלכסוניו AC, BD חוצים זה את זה
AO = CO , BO = DO

צריך להוכיח

מרובע ABCD - מקבילית
AD||BD , AB||CD

הוכחה

נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
AO = CO , BO = DO - נתון
- קודקודיות
מכאן משולשים AOD, BOC חופפים - צ.ז.צ

מהחפיפה נובע:
- מול צלעות שוות (BO = DO) במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות

מכאן
AD||BC - שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי (AC). אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים.

באותה דרך ניתן להוכיח מקבילות צלעות המרובע AB||CD, ע"י חפיפת משולשים AOB, COD ושיוויון זוויות פנימיות מתחלפות BAC, ACD

לכן מרובע ABCD מקבילית

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית

נתון:

מרובע ABCD
AD = BC , AD||BC

צריך להוכיח:
ABCD מקבילית, כלומר AB||CD

הוכחה
בניית עזר - בונים את אלכסוני המרובע AC, BD
נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
AD = BC - נתון
- פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך AC
- פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך BD
מכאן, משולשים AOD, BOC חופפים, ז.צ.ז

מהחפיפה נובע:
AO = CD , BO = DO מול זוויות שוות במשולשים חופפים מונחות צלעות שוות
כלומר האלכסונים AC, BD של המרובע ABCD חוצים זה את זה

מכאן מרובע ABCD מקבילית - אם במרובע האלכסונים חוצים אחד את השני המרובע הוא מקבילית
מכאן AB||CD

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה המרובע הוא מקבילית

נתון
ABCD מרובע, AC ו- BD אלכסונים במרובע
AO = CO
BO = DO

צריך להוכיח:
ABCD - מקבילית
כלומר AD||BC , AB||CD

הוכחה:
נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
1. AO = CO - נתון
2. BO = DO - נתון
3. - קודקודיות
לכן משולשים AOD, BOC - צ.ז.צ

מהחפיפה נובע:
- מול צלעות שוות במשולשים חופפים מונחות זוויות שוות
לכן BC||AD - אם בין שני קטעים וחותך (AC) יש זוויות פנימיות מתחלפות שוות הקטעים מקבילים.

בדרך דומה ניתן להוכיח מקבילות AB||CD, לפי חפיפת משולשים AOB, COD ושיווין זוויות BAC, ACD.

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע כל זוג צלעות נגדיות שוות המרובע הוא מקבילית

נתון מרובע ABCD
AB = CD , BC = AD

צריך להוכיח: מרובע ABCD מקבילית , AB||CD , AD||BC

הוכחה:
בניית עזר - בונים את האלכסון AC

נוכיח חפיפת משולשים ABC, ADC

1. AB = CD - נתון
2. BC = AD - נתון
3. AC = AC - צלע משותפת
4. משולש ABC חופף למשולש ADC - נובע מ- 1,2,3 - צ.צ.צ

מהחפיפה נובע:
5. - זוויות מול צלעות שוות במשולשים חופפים שוות
ולכן:
6. AD||BC - אם בין שני ישרים וחותך (AC) זוויות פנימיות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים

באותה דרך מוכיחים כי AB||BC משיוויון זוויות A2, C2

הוכחת משפט בגיאומטריה - במקבילית כל זוג זוויות סמוכות סכומן 180

נתונה מקבילית ABCD שבה AB||CD , AD||BC

צריך להוכיח:


הוכחה:
בניית עזר ממשיכים את הקטע AD ליצירת זווית A2


1. - זוויות מתאימות שוות, מקבילים AB||CD , חותך AD

2. - צמודות

3. - בהצבה, נובע מ-1 ו-2

מ.ש.ל

שאלה פתורה בגיאומטריה - הוכחה כי מרובע ניתן לחסימה במעגל

שאלה

המרובע ABCD הוא מקבילית.
מעגל העובר דרך הקודקודים B ו- C חותך את אלכסוני המקבילית בנקודות E, F.
הוכח כי ניתן לחסום את המרובע ADFE במעגל.



פתרון

תרגיל פתור בגיאומטריה - מקבילית חסומה במשולש שווה שוקיים

שאלה

בתוך משולש ABC חסומה מקבילית DEFG.
נתון AC = BC , DB = DG = CF
חשב את זוויות המשולש ABC.

פתרון

על מנת לפתור את התרגיל נסמן ב- x את זוית B, ונמצא את זוויות נוספות בסקיצה כפונציה של x. לאחר מכן נמצא משוואה של קשר מסוים בין הזוויות ונחלץ את x.

1. כאמור נקבע
2. מכאן - הצלעות AC = BC - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש ABC
3. מכאן - משלימה את זוויות A, B ל- 180 במשולש ABC
4. EF = DG - צלעות נגדיות במקבילית שוות
5. CF = DG - נתון
6. CF = EF - נובע מ- 4, 5
7. - נובע מ- 6 - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש CEF
8. - נובע מ- 3, 7

9. - זוויות מתאימות - DE מקביל ל - BC , חותך AB
10. - נובע מ- 9,1
11. - משלימה את זוויות A, ADE ל- 180 במשולש ADE

12. DB = DG - נתון
13. - מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש DGB
14. - נובע מ- 1, 13
15. - צמודה לזוית DGB השווה ל- x
16. - נגדית לזווית FGD במקבילית DEFG - זויות נגדיות במקבילית שוות

17. הזוויות AED, DEF, CEF נמצאות על הקטע AC ולכן סכומן 180 מעלות - סכום זוויות על ישר 180 מעלות
18. - נובע מ- 8, 11, 16,17
19. - פתרון משוואה 18

מכאן:

20. - נובע מ- 19, 1,2,3

מ.ש.ל

משפט בגיאומטריה: זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו

נתונה מקבילית ABCD

נוכיח כי זווית B שווה לזווית D

תחילה בונים בניית עזר את האלכסון BD,
זווית B1 = זווית D1 - פנימיות מתחלפות AB||CD חותך BD
זווית B2 = זווית D2 - פנימיות מתחלפות AD||BC חותך BD

מכאן : זווית B1 + זווית B2 = זווית D1 + זווית D2
מכאן: זווית B = זווית D
מ.ש.ל

באותה דרך ניתן לבנות האלכסון AC כבניתת עזר ולהוכיח שיוויון זוויות A ו- C.

הוכחה לשטח המקבילית: מכפלת הבסיס בגובה

שטחים של מרובעים מיוחדים: ריבוע, מלבן, מקבילית

שטחים של מרובעים מיוחדים: ריבוע, מלבן, מקבילית

הוכחת משפט גיאומטריה - צלעות נגדיות במקבילית שוות

נתונה המקבילית ABCD ,
BC מקביל ל- AD
AB מקביל ל- CD

צריך להוכיח צלעות נגדיות במקבילית שוות:
AB = CD , AD = BC

הוכחה

בונים בניית עזר את אלכסון המקבילית AC ומוכיחים חפיפת משולשים ABC , ו- ADC ומהחפיפה נובעים שיוויון הצלעות.

AC =AC צלע משותפת
זוית A1 = זוית C1 - פנימיות מתחלפות במקבילים AD ו- BC
זוית A2 = זוית C2 - פנימיות מתחלפות במקבילים CD ו- AB

מכאן משולשים ABC , ו- ADC חופפים. (ז.צ.ז)

מהחפיפה נובע: AB = CD , AD = BC

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה

נתונה המקבילית ABCD ,
BC מקביל ל- AD,
AB מקביל ל- CD

צריך להוכיח כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה,
כלומר AO = CO , BO = DO



הוכחה:

מוכיחים חפיפת משולשים AOD ו- COB
AD = BC - צלעות נגדיות במקבילית שוות
זוית ACB = זוית CAD - פנימיות מתחלפות שוות מקבילים AD, BC
זוית DBC = זוית BDA - פנימיות מתחלפות שוות מקבילים AD, BC

מכאן נובע משולשים AOD ו- COB חופפים - ז.צ.ז

מהחפיפה נובע AO = CO , BO = DO

מ.ש.ל

בעיה פתורה בגיאומטריה, חפיפת משולשים ריבוע ומקבילית

נתון ABCD הוא מקבילית ו- BEFC ריבוע.

צריך להוכיח כי המשולשים ABE ו- DCF חופפים

הוכחה

במקבילית ABCD הצלע BA שווה ל-CD. בריבוע BEFC , הצלע EB שווה ל- FC. מאחר ו- EB מקביל ל FC ו- BA מקביל ל-CD אז הזוויות EBA ו FCD שוות.

מכאן משולשים ABE ו-DCF חופפים (צ.ז.צ):
הזוויות EBA ו FCD שוות - הוכח פיסקה קודמת.
AB = CD - צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
BE = CF - צלעות נגדיות בריבוע CBEF שוות

מ.ש.ל

בעיה מקבילית וחפיפת משולשים

פתרון

סעיף א: הוכח BF=BL

חפיפת משולשים ALB ו- BCF

BC=AD צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
AD=AL צלעות בריבוע ADKL

מכאן נובע: BC=AL - זהות 1

AB=CD צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
CD=CF צלעות של ריבוע CDEF שוות

מכאן נובע AB=CF - זהות 2

זוית BCD = זוית BAD - זויות נגדיות במקבילית ABCD שוות
זוית DCF = זוית DAL = 90 מעלות - זויות בריבועים ישרות

מכאן נובע: זוית BCF = זוית BAL - סכום של זויות שוות זהה - זהות 3

מזהויות 1, 2, 3 נובע שמשולשים BCF ו- BAL חופפים - זהות 4

מהחפיפה נובע: BF=BL - מה שנדרש להוכיח בסעיף 1


סעיף 2 - הוכח ש- BF מאונך ל- BL