משפט פיתגורס - הוכחה בעזרת אלגברה והשוואת שטחים

הוכחת משפט פיתגורס בדרך אלגברית

ע"פ משפט פיתגורס במשולש ישר זוית סכוםריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, כלומר:

לפנינו ריבוע גדול המורכב מארבעה משולשים זהים ישרי זוית abc , וריבוע קטן שצלעו היא היתר c כלואבריבוע הגדול עם המשולשים.

שטח כל הריבוע הגדול :

שטח ארבעה משולשים קטנים:

שטח ריבוע קטן:

השוואת שטחים: שטח ריבוע גדול שווה לשטחי ארבעה משולשים וריבוע קטן:   

נפתח ונקבל



קיבלנו כי סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר

משפט פיתגורס - "סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר"

משפט פיתגורס הוא משפט גאומטרי מפורסם, המתאר את היחס בין שלוש צלעותיו של משולש ישר-זווית. המשפט קובע כי "סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר" (הניצבים הם שתי צלעות הזווית הישרה, והיתר הוא הצלע הארוכה של המשולש). או בניסוח פורמלי: אם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם ו-, ואורך היתר הוא , אז: .

דוגמא:
נתון משולש ישר זוית שאורכי ניצביו הם 3, 4, מצא את אורך היתר

אורך היתר c:

אורך היתר c שווה 5.

הוכחת הנשיא גרפילד למשפט פיתגורס

ישנו משולש ישר זוית שניצביו a, b והיתר c.
בונים ממשולש זה וזה לו טרפז ישר זוית ומחשבים את שטחו בשני אופנים.

מצד אחד, הוא שווה ל-  , כיוון ששטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית מסכום
הבסיסים.

מצד שני הוא שווה ל-     כי הוא שווה לסכום שטחם של שני המשולשים האפורים עם
המשולש שביניהם הלבן

מהשוואת שני הביטויים שהתקבלו, המייצגים את אותו השטח, מתקבל משפט פיתגורס.

הוכח כי הגובה ליתר במשולש ישר זווית שווה למכפלת הניצבים לחלק ליתר

נתון משולש ישר זווית ABC , זווית ACB ישרה

נדרש להוכיח כי הגובה ליתר h שווה למכפלת הניצבים a,b לחלק ביתר c
או: h=ab/c

הוכחה

נחשב את שטח המשולש בשני דרכים ונשווה ביניהם:

שטח המשולש הוא מחצית מכפלת הניצבים: S=ab/2

שטח המשולש מחושב גם כמחצית מכפלת היתר בגובה ליתר: S=ch/2

לכן: ab/2=ch/2
ab=ch

לכן הגובה ליתר: h=ab/c

מ.ש.ל

משולש 30 60 90 - הניצב מול זוית 30 מעלות שווה למחצית היתר

הוכח כי במשולש ישר זוית שזויותיו 30 , 60 , 90 מעלות , הניצב מול זוית 30 מעלות שווה למחצית היתר

משולש 30 60 90 - הניצב מול זוית 30 מעלות שווה למחצית היתר

הוכחה