מבחן מיצב כיתה ח תשע"א פתרון שאלה מס' 24 - דמיון משולשים

מלבן חסום במשולש ישר זוית

לפניכם משולש ישר-זווית ABC. .
BDFE הוא מלבן החסום במשולש.

א. הַסבירו מדוע המשולשים ADF ו- ABC דומים. 

המשולשים ABC, ADF הם בעלי זויות שוות ולכן הם דומים.
נוכיח שזויותיהן שוות.

1. זוית A משותפת לשני המשולשים
2. DF מקביל ל- BE - צלעות נגדיות במלבן מקבילות
3. זוית B = זוית ADF = זוית ישרה
4. מ- 1 ו- 3 נובע כי במשולשים  ADF ו- ABC שתיים מזויותיהן שוות ולכן גם השלישית שווה (משלימה ל- 180 מעלות) ולכן המשולשים דומים.

ב. נתון גם:
5 ס"מ = DF
15 ס"מ = BC
18 ס"מ = AB
ב1. מה יחס הדמיון בין המשולשים: ABC , ADF?

יחס הדימיון בין שני משולשים דומים, הוא היחס בין צלע במשולש אחד לצלע המתאימה (מול הזוית השווה) במשולש השני.
לדוגמה זוית A שווה (משותפת) לשני המשולשים, זוית A מול הצלע DF במשולש ADF, וזוית A מול הצלע BC במשולש ABC, לכן יחס הדמיון הוא היחס בין DF ל- BC או 5/15 = 1/3.


ב2. מה שטח המלבן BDFE? הַציגו את דרך הפתרון:
 יחס הדמיון בין משולש ADF למשולש ABC הוא 1/3 , זהו היחס בין צלעות המשולשים, לכן:
AD/AB = 1/3
נציב: AB = 18 מהנתון, ונקבל:
AD/18 = 1/3
AD = 18/3 = 6
אורך הצלע BD של המלבן BDFE הוא:  BD = AB - AD = 18 - 6 = 12
אורך הצלע DF של המלבן: DF = 5 - נתון


השטח S של המלבן BDFE שווה למכפלת צלעות סמוכות, לכן: S = BD * DF = 5 * 12 = 60
שטח המלבן BDFE הוא 60 סמ"ר.

מבחן מיצב כיתה ח תשע"א פתרון שאלה מס' 18 - שתי משוואות עם שני נעלמים

פִּתרו את מערכת המשוואות שלפניכם. הציגו את דרך הפתרון

פתרון מערכת המשוואות:
במשוואה הראשונה נציב במונה x במקום 3 - 2y  ע"פ השיוויון של המשוואה השניה ונקבל:
 

נפתור את המשוואה:

מצאנו את x, נמצא את y :

ע"פ המשוואה השניה:  2y - 3 = x מכאן 2y = x+3 או בהצבה x = -2
נקבל 2y = -2+3
2y = 1
y = 1/2

תשובה:
x = -2
y = 1/2


קישורים:

•  תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א שאלות 1-6,

חלק ב שאלות 7-12, שאלות 13-15 , שאלה 21 , שאלה 24

• תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשס"ח ב - כיתה ח: חלק א, חלק ב

מבחן מיצב כיתה ח תשע"א פתרון שאלה 21

שאלה 21
לפניכם סרטוט של מחומש ABCDE המורכב מריבוע ABDE וממשולש ישר-זווית BCD.


א. מה שטח הריבוע ABDE? הַציגו את דרך הפתרון:

נמצא תחילה את אורך צלע BD של הריבוע ABDE, ע"פ משפט פיתגורס.
משולש  BCD ישר זוית (זוית C ישרה) לכן סכום ריבועי הניצבים BC, ו- CD שווה לריבוע היתר BD:

או בהצבה ופתרון:


שטח ריבוע שווה לריבוע צלע מצלעותיו השוות, בעצמה:
שטח הריבוע :   


ב. מה שטח המחומש ABCDE? הַציגו את דרך הפתרון:

פתרון סעיף ב
שטח המחומש ABCDE מורכב משטח הריבוע ABDE ושטח המשולש ישר הזוית BCD. נמצא את שטח הריבוע ושטח המשולש, נחבר אותם, ונקבל את שטח המחומש.
שטח ריבוע ABDE -מצאנו בסעיף א:
שטח המשולש BCD - שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לאותה הצלע. כאשר המשולש ישר זוית, הניצבים מהווים צלעות וגבהים אחד לשני, לכן שטח משולש ישר זוית שווה למחצית מכפלת ניצביו.
שטח משולש BCD:

שטח המחומש ABCDE הוא סכום שטח הריבוע ושטח המשולש: 91.5 = 74 + 17.5


ג. מה היקף המחומש ABCDE?

פתרון סעיף ג
היקף המחומש P שווה לסכום צלעותיו:

 
התשובה הנכונה היא מספר 3.

קישורים:

• תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשסח ב - כיתה ח - חלק ב

תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשסח ב - כיתה ח - חלק ב

שאלה 7 - ניתוח נתונים בגרף

במעדנייה מזמינים בכל יום מספר שונה של לחמניות.
בכל יום נמכרות חלק מהלחמניות, ואת הלחמניות שלא נמכרות תורמים למוסדות צדקה.
הגרף שלפניכם מתאר את מספר הלחמניות שהוזמנו ואת מספר הלחמניות שנמכרו בכל יום בשבוע עבודה אחד.

התבוננו בגרף וענו על הסעיפים שלפניכם:

א. מהו מספר הלחמניות שהוזמנו ביום שישי?
תשובה: ניתן לראות בגרף כי מספר הלחמניות שהוזמנו ביום ששי הור 55, לפי מיקום המעגל הריק (המסמל את מספר הלחמניות שהוזמנו) ששי על הציר האופקי (ציר x), ומיקום 55 על הציר האנכי (ציר y).

ב. ביום רביעי מסומן בגרף כך: . מה יכולה להיות המשמעות של הסימון הזה?
תשובה: משמעות הסימול הוא הסימולים מעגל ריק וריבוע שחור באותה נקודה בגרף, כלומר באותו יום הוזמנו ונמכרו אותו מספר של לחמניות:  40


ג. באיזה יום תרמו את מספר הלחמניות הגדול ביותר?
תשובה: היום שבו תרמו את מספר הלחמניות הגדול ביותר הוא היום שבו ההפרש בין הכמות שהוזמנו לכמות שנמכרו הוא הגבוה ביותר. רואים זאת בגרף ביום ששי שבו המרחק בין הסימולים הוא הכי גדול.
30 = 25 - 55 , הכמות שנתרמה היא 30 לחמניות.


ד. באיזה יום לא נמכרו לחמניות כלל?
תשובה: לא נמכרו לחמניות כלל ביום שני. רואים זאת בגרף שבו הסימול ללחמניות שנמכרו (ריבוע שחור) מונח על ציר x - כלומר שווה .0

שאלה 8 - שטחים: משולש ישר זוית ומלבן

בסרטוט שלפניכם מוצגת תכנית של בריכה ושל מדשאות במרכז ספורט. הבריכה היא מלבנית ומשני צִדיה יש מדשאות בצורת משולשים ישרי-זווית. חלק מהמידות של המדשאות ושל הבריכה רשומות בסרטוט.

פתרון
סעיף א - התשובה הנכונה היא 1. שטח שתי המדשאות יחד שווה לשטח הברכה.
סעיף ב - הסיבה לכך: הברכה היא מלבנית בעלת אורך 6 מ' ורוחב x, ולכן שטחה הוא 6x. כל מדשאה היא משולש ישר זוית בעל ניצב אחד באורך 6 מ', וניצב שני באורך x כמו רוחב הברכה. שטח משולש ישר זוית שווה למחצית מכפלת ניצביו, ולכן שטח כל מדשאה הוא: 6x/2.
שטח שתי המדשאות הוא: 6x/2 + 6x/2 = 6x וזה גם שטח הברכה.


שאלה 9 - פתרון בעיה עם משוואה אלגברית מעלה ראשונה בנעלם אחד

סכום הגילים של אב ובנו הוא 60. היחס בין גילו של הבן לגילו של האב הוא: 1:5. מה היה גילו של הבן לפני 4 שנים? הציגו את דרך הפתרון.

פתרון: נניח גיל האב הוא x. מכאן גיל הבן הוא , ויחס הגילאים הוא 5 כלומר:




נפתור את המשוואה:

 גיל האב הוא 50, וגיל הבן הוא: 10 = 50 - 60.
גיל הבן לפני 4 שנים היה: 6 = 4 - 10



שאלה 10 - הצבת ערך מספרי במקום ביטוי בתבנית

נתון: x – y = 4
בהסתמך על הנתון, חשבו את ערכי הביטויים (התבניות) שלפניכם
והציגו את דרך החישוב.

פתרון
סעיף א - מציבים בתבניות את המספר 4 בכל מקום בו מופיע הביטוי x - y.
ונקבל:

סעיף ב -נפתור בדרך דומה:

שאלה  11 - הרכבת תבנית פסוק ופתרונה

פתרון סעיף א

השטח של מלבן בודד: (2 + x)
צורה א מורכבת מ- 6 מלבנים לכן שטחה:
צורה ב מורכבת מ- 4 מלבנים ולכן שטחה:

השטח של צורה א גדול ב- 24 סמ"ר מצורה ב לכן:
נפתור את המשוואה ונחלץ את x:

ערכו של x הוא 10.

קישורים:

• תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א שאלות 1-6,
  חלק ב שאלות 7-12, שאלות 13-15 ,  שאלה 18 , שאלה 21 , שאלה 24
  תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשס"ח ב - כיתה ח: חלק א,

  מציאת קבוצת האמת של מערכת המשוואות

  פתרון גרפי של שתי משוואות לינאריות עם שני נעלמים

  תבנית מספר לשטח והיקף מלבן
  פישוט ביטויים והצבת ערכים במשתנים
  תרגילים ותשובות לכיתה ח - סדר פעולות חשבון
  הצבה בתבניות מספר

שאלות פתורות ממבחן מיצ"ב לכיתה ח' תשס"ח ב - חלק א

שאלה מספר 1 - פִּתְרוּ את המשוואה, הציגו את דרך הפתרון וּבִדְקוּ את תשובתכם.

 

פתרון:

בדיקה
מציבים  x = 4 במשוואה

 

הבדיקה הצליחה

שאלה מספר 2

פתרון

נפתור את אי השוויון

נחלק את שני האגפים ב- (2-) , כיוון האי שוויון מתהפך

נקבל

 התיאור הגרפי המתאים הוא מספר 1

שאלה מספר 3

במבחן ארצי במתמטיקה נבחנו 6,200 תלמידים.

א. 12% מהתלמידים לא השיבו על השאלה האחרונה במבחן.
כמה תלמידים השיבו על השאלה האחרונה במבחן?

הציגו את דרך החישוב.

פתרון סעיף א

נחשב תחילה את מספר התלמידים שלא השיבו על השאלה האחרונה במבחן: 

 

 מספר התלמידים שלא השיבו על השאלה האחרונה במבחן: 744

מספר התלמידים שהשיבו על השאלה האחרונה שווה לסה"כ התלמידים פחות אלו שלא השיבו:

תשובה לסעיף א: 5456


ב. 2.5% מהתלמידים לא השיבו על השאלה הראשונה במבחן.
כמה תלמידים לא השיבו על השאלה הראשונה במבחן?
הציגו את דרך החישוב.
פתרון סעיף ב
2.5% מכל 6,200 התלמידים לא השיבו על השאלה הראשונה: 

תשובה סעיף ב: 155 תלמידים לא השיבו על השאלה הראשונה במבחן.


שאלה מספר 4

על פאותיה של קובייה הוגנת רשומים שישה משמות ימי השבוע:
ראשון, שני, שלישי, רביעי, חמישי, שישי.
על כל פאה רשום שמו של יום אחר.
איתי מטיל את הקובייה.
חַשְּבוּ מהי ההסתברות שהקובייה תראה שם של יום המתחיל באות "ר".

פתרון שאלה 4
מרחב התוצאות האפשריות מכיל 6 איברים:
 { ראשון, שני, שלישי, רביעי, חמישי, שישי}

התוצאות האפשריות המתחילות באות ר הן שתיים: {ראשון, רביעי}
הקוביה הוגנת כלומר הסתברות שווה לכל תוצאת בהטלה, לכן ההסתברות לתוצאה המתחילה באות ר' הוא 2 (ראשון, רביעי) מתוך שש ( ראשון, שני, שלישי, רביעי, חמישי, שישי)
ולכן  ההסתברות היא 2/6 = 1/3
ההסתבורת שהקובייה תראה שם של יום המתחיל באות "ר" שווה שליש.


שאלה מספר 5

הציגו את דרך החישוב ונמקו כל חישוב בעזרת משפט מתאים.

פתרון שאלה מספר 5 

השיטה: מוצאים את שוית ABD השווה לזווית לזוית BAD (40 מעלות) לפי זוויות בסיס במשולש ADB שווה שוקיים (AD = DB). לאחר מכן מסכמים את זויות משולש ABC ל- 180 מעלות ומוצאים את .

1: - זוויות בסיס במשולש ADB שווה שוקיים (AD = DB) שוות
2: - נתון
3: - נובע מ-1  ו- 2

סכום הזוויות במשולש ABC שווה 180 מעלות לכן:

נציב את ונקבל:

שאלה מספר 6
פִּתְרוּ את מערכת המשוואות שלפניכם באחת משתי הדרכים:
בדרך האלגברית או בדרך הגרפית. הציגו את דרך הפתרון.

פתרון שאלה 6
נפתור את מערכת המשוואות בדרך אלגברית בשיטת ההצבה.

נפתח תחילה את המשוואה הראשונה ונחלץ את y:


נפשט המשוואה השניה ונציב בה: y = 2 - x

פישוט המשוואה השניה:


הצבה  y = 2 - x ופתרון.



תשובה: x = 4 ,   y = -2

לחלק ב השאלות הפתורות הקלק כאן 

קישורים:

• תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א 
• תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק ב