דמיון משולשים - מושגים והגדרות, משפטי יסוד, ותרגילים פתורים

דמיון משולשים - מושגים והגדרות, משפטי יסוד, ותרגילים פתורים

משפטי דמיון יסודיים

משפט דמיון ראשון : צ.ז.צ.
אם שתי צלעות במשולש אחד , פורפורציוניות לשתי צלעות במשולש אחר, והזוויות הכלואות ביניהן שוות – המשולשים דומים.

משפט דמיון שני : ז.ז.ז.
אם שתי זוויות במשולש אחד , שוות לשתי זוויות במשולש שני – המשולשים דומים

משפט דמיון שלישי : צ.צ.צ.
אם שלוש צלעות של משולש אחד , פורפורציוניות בהתאמה , לשלוש הצלעות של משולש אחר,- המשולשים דומים

משפט דמיון רביעי: צ.צ.ז. ( לא נלמד בדרך כלל )
אם שתי צלעות במשולש אחד , פורפורציוניות לשתי צלעות במשולש אחר, והזוויות המונחות מול הצלע הגדולה ( מבין השתיים ), בכל משולש, שוות זו לזו – המשולשים דומים

דמיון משולשים - תרגילים פתורים בסיסיים

 

קישורים - הוכחת משפטים בדמיון משולשים:

שטחים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כריבוע היחס שבין הצלעות המתאימות

גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות

חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות

תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.

מבחן מיצב כיתה ח תשע"א פתרון שאלה מס' 24 - דמיון משולשים

מלבן חסום במשולש ישר זוית

לפניכם משולש ישר-זווית ABC. .
BDFE הוא מלבן החסום במשולש.

א. הַסבירו מדוע המשולשים ADF ו- ABC דומים. 

המשולשים ABC, ADF הם בעלי זויות שוות ולכן הם דומים.
נוכיח שזויותיהן שוות.

1. זוית A משותפת לשני המשולשים
2. DF מקביל ל- BE - צלעות נגדיות במלבן מקבילות
3. זוית B = זוית ADF = זוית ישרה
4. מ- 1 ו- 3 נובע כי במשולשים  ADF ו- ABC שתיים מזויותיהן שוות ולכן גם השלישית שווה (משלימה ל- 180 מעלות) ולכן המשולשים דומים.

ב. נתון גם:
5 ס"מ = DF
15 ס"מ = BC
18 ס"מ = AB
ב1. מה יחס הדמיון בין המשולשים: ABC , ADF?

יחס הדימיון בין שני משולשים דומים, הוא היחס בין צלע במשולש אחד לצלע המתאימה (מול הזוית השווה) במשולש השני.
לדוגמה זוית A שווה (משותפת) לשני המשולשים, זוית A מול הצלע DF במשולש ADF, וזוית A מול הצלע BC במשולש ABC, לכן יחס הדמיון הוא היחס בין DF ל- BC או 5/15 = 1/3.


ב2. מה שטח המלבן BDFE? הַציגו את דרך הפתרון:
 יחס הדמיון בין משולש ADF למשולש ABC הוא 1/3 , זהו היחס בין צלעות המשולשים, לכן:
AD/AB = 1/3
נציב: AB = 18 מהנתון, ונקבל:
AD/18 = 1/3
AD = 18/3 = 6
אורך הצלע BD של המלבן BDFE הוא:  BD = AB - AD = 18 - 6 = 12
אורך הצלע DF של המלבן: DF = 5 - נתון


השטח S של המלבן BDFE שווה למכפלת צלעות סמוכות, לכן: S = BD * DF = 5 * 12 = 60
שטח המלבן BDFE הוא 60 סמ"ר.