עושים בית ספר למערכת החינוך: 2012

יום ראשון, 21 באוקטובר 2012

סדרה חשבונית - נוסחה לאיבר הכללי

סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: $\ a_{n+1}-a_n=d$
דוגמה: בסדרה 3, 5, 7, 9, 11, ... (מימין לשמאל) ההפרש הקבוע בין כל שני איברים עוקבים הוא 2.
סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

האיבר הראשון בסדרה.
ההפרש הקבוע בין שני איברים עוקבים בסדרה.
מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי).

לפי מאפיינים אלה ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.

נוסחה לאיבר הכללי
אם $a_1$ הוא האיבר הראשון, ו־ $d$ הוא ההפרש, האיבר ה־ $n$ נתון על ידי הנוסחה: $a_n=a_1+(n-1) \cdot d$ .

דוגמאות:

דוגמא 1 - מציאת האיבר הכללי

נתונה הסדרה החשבונית: ... 8, 5, 2
מצא את האיבר ה- 11 בסדרה:

נמצא תחילה את הפרש הסדרה d, נשתמש למשל בהרש האיברים השני והראשון :

ע"פ נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית:
$a_n=a_1+(n-1) \cdot d$
עבור האיבר ה- 11 , n = 11 ולכן:

דוגמא 2 - מציאת האיבר הראשון בסדרה:
נתונה סדרה חשבונית שבה האיבר ה- 6 הוא:

והפרש הסדרה

מצא את האיבר הראשון בסדרה:
ע"פ נוסחת האיבר הכללי:
$a_n=a_1+(n-1) \cdot d$
נחלץ את

דוגמא 3 - מציאת הפרש הסדרה d

מצא הפרש סדרה חשבונית (d) שבה האיבר ה- 13 שווה 77 והאיבר הראשון הוא 5
נתון לנו כי

מספר האיברים בסדרה הוא 13 ,
ע"פ נוסחת האיבר הכללי:
$a_n=a_1+(n-1) \cdot d$
נחלץ את ההפרש d:

נציב ונקבל את הפרש הסדרה d:

קישורים:
הוכחת נוסחאות למציאת סכום סדרה חשבונית ודוגמא פתורה

תרגיל פתור סדרה חשבונית - מציאת הפרש סדרה ואיברה הראשון ע"פ קשרים בין איברים בה - תרגיל - בסדרה חשבונית האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי וסכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב – 1 מהאיבר החמישי. מצא את הפרש הסדרה החשבונית...

יום שבת, 29 בספטמבר 2012

משפט פיתגורס - הוכחה בעזרת אלגברה והשוואת שטחים

הוכחת משפט פיתגורס בדרך אלגברית

ע"פ משפט פיתגורס במשולש ישר זוית סכוםריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, כלומר:

לפנינו ריבוע גדול המורכב מארבעה משולשים זהים ישרי זוית abc , וריבוע קטן שצלעו היא היתר c כלואבריבוע הגדול עם המשולשים.

שטח כל הריבוע הגדול :

שטח ארבעה משולשים קטנים:

שטח ריבוע קטן:

השוואת שטחים: שטח ריבוע גדול שווה לשטחי ארבעה משולשים וריבוע קטן:

נפתח ונקבל

קיבלנו כי סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר

יום שלישי, 25 בספטמבר 2012

משפט פיתגורס - "סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר"

משפט פיתגורס הוא משפט גאומטרי מפורסם, המתאר את היחס בין שלוש צלעותיו של משולש ישר-זווית. המשפט קובע כי "סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר" (הניצבים הם שתי צלעות הזווית הישרה, והיתר הוא הצלע הארוכה של המשולש). או בניסוח פורמלי: אם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם

ו-

, ואורך היתר הוא

, אז:

.

דוגמא:
נתון משולש ישר זוית שאורכי ניצביו הם 3, 4, מצא את אורך היתר

אורך היתר c:

אורך היתר c שווה 5.

הוכחת הנשיא גרפילד למשפט פיתגורס

ישנו משולש ישר זוית שניצביו a, b והיתר c.
בונים ממשולש זה וזה לו טרפז ישר זוית ומחשבים את שטחו בשני אופנים.

מצד אחד, הוא שווה ל-

, כיוון ששטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית מסכום
הבסיסים.

מצד שני הוא שווה ל-

כי הוא שווה לסכום שטחם של שני המשולשים האפורים עם
המשולש שביניהם הלבן

מהשוואת שני הביטויים שהתקבלו, המייצגים את אותו השטח, מתקבל משפט פיתגורס.

יום שני, 17 בספטמבר 2012

משולש שווה שוקיים - מציאת השטח ע"פ הצלעות

משולש שווה שוקיים

בגאומטריה, משולש שווה-שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו. הצלעות השוות נקראות "שוקיים" והצלע השלישית נקראת "בסיס"

בשרטוט להלן הצלעות השוות, שוקיים, מסומנות באות b , הבסיס באות a.

הגובה h במשולש שווה שוקיים יכול להימצא ממשפט פיתגורס:

מכאן ניתן לחשב את שטח המשולש S:

קישורים:

חוצה זוית במשולש שווה שוקיים הוא תיכון, ומאונך לצלע ממול
זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.

יום שבת, 15 בספטמבר 2012

בעיה פתורה בטריגונומטריה 4 יח' - משולש ישר זוית בתוך טרפז ישר זוית

שאלה בטריגונומטריה 4 יחידות

פתרון

שטח טרפז שווה למכפלת סכום בסיסיו בגובה לחלק לשתיים, כלומר אם בסיסי הטרפז הם a ו- b וגובה הטרפז הוא h אזי שטח הטרפז S = (a + b)*h/2

במקרה של טרפז ישר זוית כמו בסקיצה:
הבסיסים הם הצלעות AD , BC והגובה היא הצלע CD

נחשב את הצלעות AD, CD , BC

מציאת AD - משולש ADM ישר זוית לכן:

מציאת BC - זוית M1 שווה לזוית

(סכום שתיהן וזוית AMD שווה 90 מעלות ולכן הן שוות)

מציאת CD
CD = DM + CM

שטח הטרפז S

מבחן מיצב כיתה ח תשע"ב - תרגילים פתורים שאלה 7 - פתרון משוואה אלגברית מעלה ראשונה נעלם אחד

פתרו את המשוואה שלפניכם, הציגו את דרך הפתרון:

פתרון:

מכפילים את כל הביטויים באגפים ב- 12 מכנסים איברים ומחלצים את x

קישורים:

תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"ב ב' - שאלות 1-3 , 4

תרגילים פתורים - מתוך מבחן מיצ"ב מתמטיקה כיתה ח' - תשע"א ב' - חלק א שאלות 1-6,
חלק ב שאלות 7-12, שאלות 13-16 , שאלה 17 , שאלה 18 , שאלה 19 , שאלה 20 , שאלה 21 , שאלה 22 , שאלה 23 , שאלה 24

תרגילים פתורים ממבחן מיצב תשס"ח ב - כיתה ח: חלק א, חלק ב