מציאת שיעור קודקוד הפרבולה

שיעורי קודקוד הפרבולה עבור הם:

מציאת שיעורי קודקוד הפרבולה:

הפרבולה חותכת את ציר y בנקודה

עקב סימטריה קיימת נקודה נוספת שבה y=c, נמצא אותה ע"י פתרון המשוואות:


ישנן שתי נקודות חיתוך של הפרבולה  עם הישר y=c והן:

מציאת קודוקוד פרבולה כממוצע שתי נקודות סימטריה על הפרבולה

שיעור קודקוד הפרבולה M נמצא באמצע הקטע PQ ולכן


נמצא את ע"י הצבת בפונקציה הריבועית:



ולכן שיעורי קודוקוד הפרבולה M:

תיבה - נפח, שטח פנים ומעטפת

נפח תיבה
תיבה הוא גוף המורכב משני בסיסים בצורת מלבן ומ- 4 פאות צדדיות שגם הן בצורת מלבן. הפאות ניצבות (מאונכות) לבסיסים.

כדי לחשב נפח התיבה צריך לכפול את שטח בסיס התיבה בגובהה. נניח שצלעות בסיס  התיבה הן a   ו- b וגובהה h.

שטח בסיס התיבה: S_תיבה = a∙b

נפח התיבה: V_תיבה =  a∙b∙c

נפח תיבה: V = a*b*c

 

תיבה

שטח הפנים של תיבה

פני התיבה זהו כל החלק החיצוני של התיבה. כדי לחשב את שטח הפנים של התיבה צריך לחבר את השטחים של ששת המלבנים שהם פני התיבה:

שטח הפנים של תיבה שצלעות הבסיס של הן a, b וגובהה h הוא:

S_{שטח פנים} = 2ab +2ah + 2bh

שטח המעטפת של התיבה

סכום שטחי 4 הפאות הצדדיות של התיבה נקרא מעטפת .

שטח המעטפת של תיבה שצלעות הבסיס של הן a, b וגובהה h הוא:

M_מעטפת = 2ah + 2bh = 2h(a+b)

דוגמאות:

1.      מקצועות הבסיס של תיבה הם 4 ס"מ ו-7 ס"מ, גובה התיבה הוא 11 ס"מ. חשב את נפח התיבה:

תשובה: נפח תיבה שווה למכפלת שטח הבסיס בגובה:   _סמ"קV = 4∙7∙11 = 308

2.      אורך הצלע של תיבה ריבועית הוא 5 ס"מ, גובה התיבה הוא 7 ס"מ. חשב את נפח התיבה.

תשובה: תיבה ריבועית היא תיבה שבסיסיה הם ריבועים, לכן נפח התיבה:

_סמ"קV = 5∙5∙7 = 175

 .     
 

קישורים 

 קוביה - נפח, מעטפת, ושטח פנים - הקובייה היא תיבה שכל פאותיה הן ריבועים. לקובייה 6 פאות שכולן ריבועים חופפים. הקובייה היא גוף משוכלל.קובייה: קובייה היא גוף שכל ממדיה שווים - אורך, רוחב וגובה...

 חרוט ישר - שטח בסיס, מעטפת, נפח   -חרוט, או חדודית, קרוי גם קוֹנוּס (מיוונית: κώνος) הוא גוף תלת-ממדי, המוגדר על ידי בסיס...

פירמידה- בסיס, קודקוד, מקצוע צדדי, מקצוע בסיס, גובה ונפח  - פירמידה היא פאון תלת-ממדי המורכב ממצולע שנקרא בסיס הפירמידה, מנקודה מחוץ למישור של המצולע שנקראת קודקוד הפירמידה..

 כדור - נפח ושטח פנים

גליל - נפח, בסיסים, שטח פנים ומעטפת -  גליל הוא משטח הנוצר מכל הנקודות הנמצאות במרחק קבוע מישר כלשהו הנקרא ציר הגליל. הגוף שאותו תוחמים משטח זה ושני בסיסים חופפים,..

שאלה פתורה מתמטיקה ממבחן מפמר כיתה ט רמה רגילה מאי 2012 - פרבולה

1. בציור שלפניכם משורטט גרף של פונקציה

פרבולה עם נקודת מינימום ושני שורשים חיוביים

א.      איזו מבין הפונקציות הבאות מתאימה לתאר את הגרף הנתון?
I.    t(x) = 2(x – 3)² + 4
II.   p(x) = –2(x + 3)² – 4
III.  k(x) = –2(x – 3)² – 4
IV.  n(x) = 2(x – 3)² – 4

פתרון סעיף א

הפונקציה הינה פרבולה עם שני נקודות חיתוך על ציר x  ולכן ישנם שני שורשים (פתרונות). לפיכך תשובות 1,2,3 נפסלות כי אלו פונקציות  ללא נקודות חיתוך עם ציר x, לדוגמא פונקציה  2:

 p(x) = –2(x + 3)² – 4

נקודות חיתוך עם ציר x כאשר  0  p(x) =

0 = –2(x + 3)² – 4

4 =  –2(x + 3)²

2- = (x + 3)²  - אין פתרון כי אין מספר שריבועו שלילי.

התשובה הנכונה הנה תשובה 4.

ב. נתונה הפונקציה:   m(x) = (x – 3)² – 4

הקיפו בעיגול "נכון / לא נכון" לגבי כל טענה:

I. לפונקציה y = –7 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
II. לפונקציה y = 0 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
III. לישר x = 3 יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה הנתונה       נכון / לא נכון
IV. לפונקציה הנתונה ולפונקציה f(x) = (x – 3)² יש אותו ציר סימטריה נכון / לא נכון 

פתרון סעיף ב

התשובה הנכונה היא 2. הפונקציה y= 0 היא ציר x בעצמו ויש לציר x שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה.

 

 יש שני פתרונות למשוואות ולכן יש שני נקודות חיתוך עם y = 0



ג. באיזה תחום הפונקציה שלילית? הציגו דרך פתרון.

פתרון סעיף ג
בסעיף הקודם מצאנו שני נקודות חיתוך לפונקציה עם ציר x, שהן: 7, 1-
גרף הפונקציה (פרבולה) יראה כך:

פרבולה עם נק' מינימום, שתי נק' חיתוך עם ציר x

ניתן לראות כי לפרבולה ערכים שליליים (הקטע בצבע כחול של הפרבולה) עבור x קטן מ- 7 וגדול מ- (1-)
 




ד. כתבו פונקציה ריבועית שהקודקוד שלה הוא (4-, 3)  ואין לה נקודות חיתוך עם ציר x.



פתרון סעיף ד

הפונקציה הריבועית היא מהצורה:

קודקודה בשיעור (4-, 3) . הפרבולה תהיה מהצורה:


מתחת לציר x ללא נקודות חיתוך עם ציר x כלומר מהצורה בסקיצה.

לפרבולה נקודת מקסימום לכן a < 0

קודקוד הפרבולה בשיעור (4-, 3) לכן ע"פ נוסחאות שיעורי הפרבולה:


 

נבחר   a = -1 ע"פ התנאי a < 0



קיבלנו b = 6
c = -13

 ולכן המשוואה הריבועית:




קישורים:

• מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט - רמה רגילה תשע"ב - שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות 12-13 , שאלה 14 -15 , שאלה 16

•  מציאת שיעור קודקוד הפרבולה

תרגיל פתור בפיסיקה מכניקה - גוף מחליק במישור משופע

השאלה מבחינת בגרות בפיסיקה 5 יח' קיץ תשע"ב

גוף שמסתו m מחליק במהירות קבועה במורד מישור משופע שזוית נטייתו .
מהו הכוח השקול הפועל על הגוף, הסבר

א. סרטט תרשים של הכוחות הפועלים על הגוף, וציין מהו כל כוח.

פתרון סעיף א
הכוחות המופעלים על גוף יכולים לנבוע ממגע כגון כוח תגובה של קרקע, משדה לדוגמא כוח הכובד משדה הכובד כוח אלקטרוסטטי משדה חשמלי, או מכוח חיכוך.

כוח החיכוך f מופעל על הגוף נגד כיוון התנועה, כלומר כיוון f במעלה המישור. אילולא היה מופעל כוח חיכוך היה הגוף נע בתאוצה קבועה במורד המישור בגלל רכיב כוח הכובד בכיוון זה ()

להלן סקיצה של הכוחות הפועלים על הגוף m והסבר על כל אחד מהם:

דיאגרמת כוחות גוף נע במורד מישור משופע במהירות קבועה

כוח תגובה N - כוח תגובה שמפעיל המישור המשופע על הגוף, כיוונו של כוח N הוא מאונך למישור המשופע יוצא ממנו.

כוח הכובד mg - כוח שמפעיל שדה כוחה הכובד על הגוף m , כיוונו של כוח הכובד הוא מאונך לקרקע לכיוון הקרקע (כיוון מטה)

כוח חיכוך f - כוח שמפעיל המישור המשופע על הגוף פרופורצינלי לכוח תגובה N. כיוונו של כוח חיכוך הוא נגד כיוון התנועה

הכוח השקול הפועל על הגוף
מאחר והגוף נע במהירות קבועה תאוצתו שווה לאפס, a = 0 . ע"פ החוק השני של ניוטון הכוח הפועל על הגוף שווה למכפלת מסתו בתאוצה שלו, F = ma , ומקרה זה: F = m*0 = 0 , לכן הכוח השקול הפועל על הגוף שווה לאפס.                                      

לנוחות להמשך פתרון השאלה:
נפרק את כוח הכובד mg לשני רכיבים, אחד בציר מקביל למישור המשופע והשני מאונך לו ונקבל:

גוף נע במורד מישור משופע - דיאגרמת כוחות

מאחר ושקול הכוחות הפועל על הגוף שווה 0 נקבל משוואות כוחות:

תרגיל פתור תנועה שוות תאוצה - טיל מאיץ ממנוחה בתאוצה קבועה

טיל מאיץ ממנוחה בתאוצה קבועה. כעבור 9 שניות, מהירות הטיל היא 58.5m/s.

א. מהי תאוצת הטיל?

נתון:

v₀=0

v_(t)=58.5m/s

t=9s

צ"ל: a=?

פתרון:

 

ב.      מה תהיה מהירות הטיל כעבור 12 שניות?

נתון: t=12s

צ"ל: v_(t)=?

פתרון:

 ג.        תוך כמה זמן יגיע הטיל למהירות של 100m/s?

נתון: v_(t)=100m/s

צ"ל: t=?

פתרון: