הוכחת משפט בגיאומטריה: כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.

נתון מעגל O ובו זוויות היקפיות BAC ו- CDB הנשענות על קשת BC, נכנה אותן זוית A וזוית D בהתאמה.

צריך להוכיח: זוית A = זוית D

בניית עזר: בונית את הקטעים OC ו- OB , נוצרת זוית מרכזית BOC הנשענת על קשת BC, נכנה אותה זוית O.

הוכחה:

1. זוית A = חצי זוית O - שתי הזוויות נשענות על קשת BC וזוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

2. זוית D = חצי זוית O - שתי הזוויות נשענות על קשת BC וזוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

לכן: זוית A = זוית D - נובע מ-1 ו- 2 - שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים גם ביניהם.

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - זוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

נתון מעגל O זוית מרכזית BOC וזוית היקפית BAC הנשענות על קשת BC.

צריך להוכיח:


הוכחה:
נוכיח שזוויות OAC ו- OCA שוות
OA = OC - רדיוסים במעגל O
לכן משולש AOC שווה שוקיים
מכאן הזוויות OAC ו- OCA שוות - זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
נסמן את זוויות OAC ו- OCA ב- x

נוכיח שזוויות OAB ו- OBA שוות

OA = OB - רדיוסים במעגל O
לכן משולש AOB שווה שוקיים
מכאן הזוויות OAB ו- OBA שוות - זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
נסמן את זוויות OAB ו- OBA ב- y

- סכום זוויות במשולש 180 מעלות
1. לכן:

- סכום זוויות במשולש 180 מעלות
2. לכן

- סכום זוויות צמודות סביב נקודה הוא 360 מעלות
- בהצבה שיוויונים 1 ו- 2
נפתח:

לפי הסקיצה: x+y = זוית BAC

נציב ונקבל:


מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה - זווית מרכזית במעגל שווה פעמיים לזווית ההיקפית הנשענת על אותה הקשת

הוכחת משפט בגיאומטריה: זוית היקפית במעגל הנשענת על הקוטר ישרה (שווה 90 מעלות)

נתון מעגל o שבו BC הוא קוטר ו- A נקודה על היקף המעגל. c היא זוית היקפית נשענת על הקוטר BC.

נדרש להוכיח כי זוית c ישרה (שווה 90 מעלות).


כלומר זוית BAC המורכבת מ- x+y הנשענת הקוטר BC שווה 90 מעלות

בניית עזר - בונים רדיוס המעגל AO.
נוצרו שני משולשים שווי שוקיים ששוקיהן הם רדיוסים.

נסמן הזוויות השוות במשולשים אלו ב- x , ו- y.

נתבונן במשולש ABC, סכום הזויות שבו שווה 180 מעלות

כלומר x+x+y+y = 180
או x+y = 90

גיאומטריה - המעגל - מושגים בסיסיים

קטעים במעגל

קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר.

רדיוס (מחוג) הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה הנמצאת על שפת
המעגל. אורכו מסומן באות R (או r).

מיתר העובר דרך מרכז המעגל נקרא קוטר (מסומן באות d, או D), ואורכו שווה לפעמיים רדיוס
המעגל, כלומר D=2R.




ישרים ומעגל
לישר ולמעגל עשויות להיות 2 נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת או שאין
נקודות חיתוך בכלל.

חותך למעגל, משיק, וחיצוני למעגל
א. אם לישר יש שתי נקודות חיתוך עם המעגל, אז הוא נקרא חותך למעגל.
ב. אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל, אז הוא נקרא משיק למעגל.
ג. אם לישר אין נקודות חיתוך עם המעגל, אז הוא נקרא ישר חיצוני (זר)
למעגל.


זוויות
זווית שקודקודה במרכז המעגל נקראת זווית מרכזית (שוקיה הם שני רדיוסים
במעגל)
זווית שקודקודה על היקף המעגל נקראת זווית היקפית (שוקיה הם שני
מיתרים במעגל).
זווית שקודקודה בתוך שטח המעגל נקראת זווית פנימית (שוקיה הם שני חלקי
מיתרים במעגל).
זווית שקודקודה מחוץ לשטח המעגל נקראת זווית חיצונית (שוקיה הם שני
חותכים למעגל).

קשתות
שתי נקודות על שפת המעגל תוחמות ביניהן חלק מהיקף המעגל, הנקרא קשת. מאחר שנוצרות שתי קשתות, נהוג להתייחס לקשת הקטנה ביניהן (אלא אם נאמר אחרת; אם הקשתות שוות נדרש מידע נוסף)

נהוג לומר שגודל הקשת במעלות שווה לזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. עם זאת, יש לציין כי הגודל הנ"ל מהווה מדד לחלק של הקשת מתוך כל המעגל וכי מדידת אורך הקשת נעשית ברדיאנים.

המעגל מהווה את שפת העיגול, כלומר מעגל הוא הקו התוחם את שטח העיגול.