הוכחת משפט בגיאומטריה - זוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

נתון מעגל O זוית מרכזית BOC וזוית היקפית BAC הנשענות על קשת BC.

צריך להוכיח:


הוכחה:
נוכיח שזוויות OAC ו- OCA שוות
OA = OC - רדיוסים במעגל O
לכן משולש AOC שווה שוקיים
מכאן הזוויות OAC ו- OCA שוות - זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
נסמן את זוויות OAC ו- OCA ב- x

נוכיח שזוויות OAB ו- OBA שוות

OA = OB - רדיוסים במעגל O
לכן משולש AOB שווה שוקיים
מכאן הזוויות OAB ו- OBA שוות - זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
נסמן את זוויות OAB ו- OBA ב- y

- סכום זוויות במשולש 180 מעלות
1. לכן:

- סכום זוויות במשולש 180 מעלות
2. לכן

- סכום זוויות צמודות סביב נקודה הוא 360 מעלות
- בהצבה שיוויונים 1 ו- 2
נפתח:

לפי הסקיצה: x+y = זוית BAC

נציב ונקבל:


מ.ש.ל