הוכחת משפט בגיאומטריה - אם במרובע קיים זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אזי המרובע הוא מקבילית

נתון:

מרובע ABCD
AD = BC , AD||BC

צריך להוכיח:
ABCD מקבילית, כלומר AB||CD

הוכחה
בניית עזר - בונים את אלכסוני המרובע AC, BD
נוכיח חפיפת משולשים AOD, BOC
AD = BC - נתון
- פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך AC
- פנימיות מתחלפות, מקבילים AD||BC , חותך BD
מכאן, משולשים AOD, BOC חופפים, ז.צ.ז

מהחפיפה נובע:
AO = CD , BO = DO מול זוויות שוות במשולשים חופפים מונחות צלעות שוות
כלומר האלכסונים AC, BD של המרובע ABCD חוצים זה את זה

מכאן מרובע ABCD מקבילית - אם במרובע האלכסונים חוצים אחד את השני המרובע הוא מקבילית
מכאן AB||CD

מ.ש.ל

הוכחת משפט גיאומטריה - צלעות נגדיות במקבילית שוות

נתונה המקבילית ABCD ,
BC מקביל ל- AD
AB מקביל ל- CD

צריך להוכיח צלעות נגדיות במקבילית שוות:
AB = CD , AD = BC

הוכחה

בונים בניית עזר את אלכסון המקבילית AC ומוכיחים חפיפת משולשים ABC , ו- ADC ומהחפיפה נובעים שיוויון הצלעות.

AC =AC צלע משותפת
זוית A1 = זוית C1 - פנימיות מתחלפות במקבילים AD ו- BC
זוית A2 = זוית C2 - פנימיות מתחלפות במקבילים CD ו- AB

מכאן משולשים ABC , ו- ADC חופפים. (ז.צ.ז)

מהחפיפה נובע: AB = CD , AD = BC

מ.ש.ל