הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.

 הוכח את המשפט: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.
 מוכיחים עבור זוג זויות פנימיות מתחלפות אחד, שאר השיוויונות ניתנים להוכחה בדרך דומה.

 נתון: שני ישרים מקבילים: CD||EF , ישר AP חותך את המקבילים בנקודות O, P

צ"ל:    COP = ∡OPF ∡

הוכחה:

טענה	#	נימוק
∡COP+∡DOP = 180º	(1)	סכום שתי זוויות סמוכות הוא 180º
∡OPF+∡DOP = 180º	(2)	סכום שתי זוויות פנימיות וחד-צדדיות בישרים מקבילים
∡COP+∡DOP = ∡OPF+∡DOP	(3)	שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1 ו- 2
COP = ∡OPF ∡	(4)	חישוב מטענה

הוכחת משפט בגיאומטריה: סכום הזוויות הפנימיות במרובע הוא 360 מעלות

נתון: מרובע ABCD

צ"ל: סכום הזוויות במרובע הוא 360 מעלות

במרובע שני משולשים שסכום זוויות כל אחד מהם הוא 180 מעלות, זוויות המשולשים הן זוויות המרובע

הוכחה:

ב.ע: נמתח אלכסון BD ונקבל שהמרובע מורכב משני משולשים.

ידוע שסכום זוויות בכול משולש הוא 180 מעלות.

נשים לב שהזוויות הפנימיות של שני המשולשים יחדיו הן בדיוק הזוויות הפנימיות של המרובע.

לכן, משום שיש במרובע שני משולשים, אז סכום הזוויות בו שווה ל-:

2*180 שזה בדיוק 360

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות מתאימות הן זהות

משפט: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות מתאימות הן זהות

נתון: שני ישרים מקבילים: CD||EF , ישר AP חותך את המקבילים בנקודות O, P

צ"ל:    AOD = ∡OPF ∡

טענה	נימוק
∡AOD+∡DOP = 180º	(1)	סכום שתי זוויות צמודות הוא 180º
∡OPF+∡DOP = 180º	(2)	סכום שתי זוויות פנימיות וחד-צדדיות בישרים מקבילים
∡AOD+∡DOP = ∡OPF+∡DOP	(3)	שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1 ו- 2
AOD = ∡OPF ∡	(4)	חישוב מטענה

הוכחת המשפט בגיאומטריה: אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה, קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה

הוכחת המשפט בגיאומטריה: אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה, קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה

נתון משולש ABC   שבו  AC > AB

צ"ל:    C < ∡B ∡

הוכחה:

בונים בניית עזר את הקטע BD  כך שנקודה D  על הצלע AC

 ו- AB = AD

נתבונן במשולש ABD:  AB = AD – נתון מבניית עזר

D₁∡ = B₁∡ - במשולש ABD מול צלעות שוות זוויות שוות    [1]

C∡ < ₁D∡ - זוית חיצונית למשולש BDC  גדולה מזוויות המשולש שאינן צמודות לה.  [2]

מכאן נובע:  C∡ < B₁∡  - נובע מ- [1] ו- [2]

B₁∡ < B∡ - השלם גדול מחלקו

לכן : C < ∡B∡ מ.ש.ל 

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי סכום שתי זוויות חד-צדדיות פנימיות הוא 180º

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי סכום שתי זוויות חד-צדדיות פנימיות הוא 180º

נתונים שני ישרים מקבילים a, b וחותך היוצר זויות 1,2 בין הישרים לחותך.

זויות חד צדדיות פנימיות, סכומן 180 מעלות

הוכחה

משפט זה ניתן להגדיר על דרך השלילה של אקסיומת הישרים המקבילים. אם שני ישרים הנחתכים על-ידי ישר שלישי אינם יוצרים באף צד של החיתוך זוג זוויות פנימיות שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים לעולם לא יפגשו גם אם נאריכם עד לאינסוף. כלומר, במקרה שלעיל שני הישרים הם ישרים מקבילים.

סוגי זויות בין שני ישרים מקבילים והיחסים ביניהן

נתונים שני ישרים מקבילים a, b וחותך היוצר זויות 1,2 בין הישרים לחותך.

זויות חד צדדיות חיצוניות סכומן 180 מעלות

זויות חד צדדיות חיצוניות סכומן 180 מעלות

זויות חד צדדיות פנימיות, סכומן 180 מעלות

זויות חד צדדיות פנימיות, סכומן 180 מעלות

הוכחה

משפט זה ניתן להגדיר גם משפט על דרך השלילה של אקסיומת הישרים המקבילים. אם שני ישרים הנחתכים על-ידי ישר שלישי אינם יוצרים באף צד של החיתוך זוג זוויות פנימיות שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים לעולם לא יפגשו גם אם נאריכם עד לאינסוף. כלומר, במקרה שלעיל שני הישרים הם ישרים מקבילים.

זויות חיצוניות מתחלפות שוות זו לזו

זויות חיצוניות מתחלפות שוות זו לזו

זויות חד צדדיות שוות זו לזו

זויות חד צדדיות שוות זו לזו

זויות פנימיות מתחלפות שוות זו לזו

זויות פנימיות מתחלפות שוות זו לזו

אקסיומת המקבילים - היסוד החמישי של אויקלידס

בחיתוך של שני ישרים a,b  על-ידי ישר שלישי c נוצרו שתי זויות חד צדדיות פנימיות אלפא ובטא שסכומן קטן מ- 180 מעלות.

היסוד החמישי של אויקלידס טוען שאם בחיתוך קו שלישי החותך שני קווים אחרים קיים זוג זוויות פנימיות באותו הצד שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים נחתכים באותו הצד של זוג הזוויות הפנימיות הללו.

כלומר, לפי המשפט שלעיל שני הישרים a, b יחתכו רק אם קיים זוג זוויות פנימיות חד-צדדיות (מצד ימין או מצד שמאל של הישר השלישי) שסכומן קטן מ- 180º.

משפט זה הנו אקסיומה ולכן אינו ניתן להוכחה.

סכום הזויות חד צדדיות פנימיות אלפא ובטא קטן מ- 180 מעלות ולכן הישרים לא מקבילים

טענה זו שקולה לניסוח המקובל של האקסיומה, הקובע כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון".