יום חמישי, 31 במרץ 2011

המרת מספר עשרוני מחזורי לשבר

מספר עשרוני מחזורי הוא מספר עשרוני שנמשך לנצח, אבל מספר ספרות חוזרות שוב ושוב. לדוגמה: ...0.1252525252525252525 הוא מספר מחזורי עשרוני, שבו המספר '25 'חזר לנצח.

המרת מספר עשרוני מחזורי לשבר

אנו יודעים כי מספרים עשרוניים מחזוריים יכולים להיכתב כשברים. הטריק הוא להשתמש במעט אלגברה.

דוגמה:

נדרש להמיר ... 0.142857142857 ... לשבר

נציב בנעלם את החלק המחזורי של המספר העשרוני : ... x = 0.142857142857

אנו רוצים להזיז את הנקודה העשרונית ימינה, כך שה"בלוק" הראשון של הספרות החוזרות יופיע לפני הנקודה העשרונית. הכפלת המספר ב- 10 תזיז את הנקודה העשרונית סיפרה אחת ימינה.

בדוגמה זו, נזיז את הנקודה העשרונית 6 מקומות ימינה (כך נכפיל את שני הצדדים ב- 1,000,000.

...1000000x =142,857.142857142857

עכשיו bחסר vמספר המקורית שלנו, x, משני הצדדים כדי להיפטר מהחלק המחזורי לאחר הנקודה העשרונית מימין:

1000000x - x = 142857
או:

999999x = 142857

x = 142857/999999
צמצום ב- 142857
x = 1 / 7


הוכחת משפט בגיאומטריה: קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.

יום שני, 28 במרץ 2011

התרופות ללא מרשם שיכולות להרוג אותך - משככי כאבים: נורופן, אקמול, אדוויל, אופטלגין...

משככי כאביםהכתבה התרופות ללא מרשם שיכולות להרוג אותך , ד"ר איתי גל , ynet, מרץ 2011

הן נמכרות ללא מרשם וללא פיקוח רפואי, אך התרופות הנפוצות לשיכוך כאבים, כמו נורופן ואקמול, רחוקות מלהיות תמימות. לעתים, כמו במקרה של שירלי מרדר שפורסם לראשונה ב-ynet, לאחר שימוש ארוך טווח מתגלות השפעות מזיקות, החל בהרס הכבד והכליות ועד התקפי לב ושבץ. מהן הסכנות ואיך ניתן להימנע מהן?

איך מאושרת תרופה?

לפני שתרופה חדשה מאושרת לשיווק חולפות שנים של פיתוח ומחקר, שנועדו לבחון היטב את פעילותה של התרופה, יעילותה ובטיחותה. בשלב הראשון, השלב הקדם קליני, נבדקות התכונות הפרמקולוגיות של התרופה ומידת רעילותה בחיות מעבדה ובתרביות רקמה. בין היתר נבדק גם החשש מהיווצרות גידולים או מומים בעובר. הצלחת השלב הזה מביאה לשלב קליני ראשון, שבו נבדקת התרופה על מתנדבים בריאים, במינונים שאינם צפויים לגרום לסכנה. החוקרים לומדים אז על תכונות הבטיחות וסבילות התרופה, כמו גם על מידת יעילותה.

בשלב הקליני השני נכללים מאות חולים שנבחרו בקפידה, ולהם ניתנת התרופה במינונים שונים. סדרת ניסויים זו אורכת כשנתיים, ואחריה נערך שלב שלישי, שבו נכללים אלפי חולים במספר מרכזים רפואיים ובכמה מדינות. כאן נבדקת התרופה הן מול תרופות אחרות והן מול תרופות פלסבו (דמה) שאינן מכילות כל חומר פעיל. לאחר ארבעת שלבי הניסוי מוגשת התרופה לרישום, אך גם אז לא מסתיים שלב הבדיקה. שלב המעקב לאחר השיווק חושף לעתים נתונים שלא התגלו בניסויים קודמים, ולעתים עולות שאלות המצריכות בדיקות נוספות.

כל תרופה טומנת בחובה תופעות לוואי לא מועטות. רגע לפני שאתם בולעים את הגלולה, הנה כמה מהאזהרות החדשות שהתפרסמו לאחרונה לגבי תרופות פופולריות.

איבופרופן: התקף לב, הרס כליות וכבד

בשלהי מלחמת העולם השנייה גילתה חברת באייר את יכולתו של האספירין להפחית דלקות ולשכך כאבים. מאז התרחבה משפחת התרופות מפחיתות הדלקת, ובשמן הרפואי NSAIDS, לכדי עשרות תרופות המעכבות שני אנזימים הקרויים COX . אנזימים אלה יוצרים חומרים דלקתיים בגוף הגורמים לכאב. החסימה מעכבת גם פרוסטאגלנדינים, חומרים שמשתחררים במקומות פציעה בגוף ואחראים אף הם ליצירת כאב ודלקת. תרופות ה-NSAIDS מפחיתות את עוצמת הכאב ופועלות תוך כשעה בהפחתת קשיון וכאבי מפרקים. עם זאת, שימוש ממושך בהן גורם לתופעות לוואי קשות.

אחת התרופות הפופולריות ביותר היא האיבופרופן (המוכרת בשמה המסחרי נורופן ואדוויל). החומר איבופרופן הומצא על ידי ד"ר סטיוארט אדמס, כימאי שנטש את בית הספר בגיל 16 כדי לעבוד כעוזר מחקר בחברת בוטס האנגלית. את לימודיו האקדמיים השלים בזמן שעבד בחברה.

את נוסחת האיבופרופן פיתח ד"ר אדמס לא במעבדות החברה, אלא במעבדה מאולתרת שהקים במטבח ביתו. רק לאחר מספר שנים של פיתוח הציג את החומר להנהלה שהחליטה להשקיע משאבים בהמשך פיתוחו. איבופרופן הוא אחד החומרים הרפואיים הוותיקים שממציאו עדיין בין החיים. ד"ר אדמס חי וקיים ואף מרצה מעת לעת בכנסים על תהליך הפיתוח של האיבופרופן.

כמו במרבית התרופות, גם שמו של איבופרופן נגזר ממרכיביו הכימיים. החלק הצדדי של מולקולת האיבופרופן מכיל את המרכיבים איזו-בוטאן, חומצה פרופריוניק וטבעת פנילית. שילוב של תחיליות המרכיבים מניב את השם איבופרופן.

הסיבה שהניעה את ד"ר אדמס לפתח את האיבופרופן היתה לדבריו למצוא חומר יעיל וזול יותר מאספירין הוותיק לשיכוך כאבים ודלקות. באותה עת היה אספירין התרופה היחידה מקבוצת ה-NSAIDS, מה שסייע להסביר את מחירה הגבוה בשוק.

בשנת 1962 נרשם האיבופרופן כפטנט בבריטניה. התכשיר הראשון שהיה מבוסס על איבופרופן נקרא "ברופן" והוא שווק על ידי חברת בוטס. בניגוד להתוויה כיום, התכשיר היה מיועד לטיפול ארוך טווח בדלקת פרקים בלבד.

נורופן הוא משכך הכאבים הראשון שהתבסס על האיבופרופן ושיווקו החל בבריטניה בשנת 1983. כיום נמכרות ברחבי העולם כמיליארד וחצי קפליות נורופן בכל שנה. שמו של הנורופן בא לו מאיחוד הקידומת Neuro של מערכת העצבים, וסיומת פן המקורית של איבופרופן.

מחקרים שנערכו לאחרונה מצאו כי איבופרופן יעיל במידה מסוימת גם לטיפול במחלות אחרות כמו פרקינסון ואף אלצהיימר. אף שהמחקרים רק בתחילת הדרך, הם עשויים להוביל לפיתוח דורות חדשים של תרופות המבוססות על משפחת ה-NSAIDS.

אלא שכידוע, אף תרופה לא פטורה מתופעות לוואי. כמו שאר חברי משפחת ה-NSAIDS, גם איבופרופן עלול לגרום לדימומים מדרכי העיכול, במיוחד בשימוש ממושך. מסיבה זו התרופה אינה מומלצת לאלה הסובלים מכיבים או דלקות במערכת העיכול לאלה הנוטלים תרופות לדילול הדם או לאלה הלוקים בהפרעות קרישה. איבופרופן עלול גם להפחית מיעילות תרופות מסוימות להורדת לחץ דם ותרופות משתנות.

במקרים נדירים עלול איבופרופן לגרום לנזק קטלני הרבה יותר. במקרים מסוימים עלול נורופן לגרום לפגיעה בכבד המתרחשת אצל עד 15% מהמטופלים. תחילה נראית עלייה באנזימי כבד בבדיקות דם, עלייה המרמזת על פגיעה כבדית. במקרים נדירים גורם איבופרופן לתגובת כבד סוערת ביותר כמו זו שהתרחשה אצל שירלי מרדר, הכוללת צהבת, דלקת כבד, הרס בלתי הפיך של תאי הכבד עד לכשל כבדי. חלק מחולים אלה מוצאים את מותם ללא השתלת כבד.

בניסויים קליניים על התרופה איבופרופן נמצא כי היא מגבירה את הסיכון להתקפי לב ושבץ מוחי קטלניים. תרופות NSAIDS ובהן נכלל איבופרופן עלולות גם לגרום להופעת יתר לחץ דם, או להחמרתו של יתר לחץ דם. התרופה עלולה לגרום גם לנזק בלתי הפיך לכליות, עד כדי צורך בטיפולי דיאליזה והשתלת כליה.

פראצטמול: מהתרופות הרעילות ביותר

אין כמעט ארון תרופות שאינו כולל אחת מתרופות הפראצטמול לשיכוך כאבים והורדת חום. אלא שמעטים יודעים שהתרופה המוכרת יותר כאקמול, דקסמול ועשרות אחרות - רעילה ביותר.

על אף תופעות הלוואי הנדירות שלה, הרי שמינון עודף עלול להיות קטלני במיוחד: נטילת התרופה במינון של כשמונה גרם ביממה, כלומר מעל 16 כדורים, עלולה לגרום לפגיעה בלתי הפיכה בכבד ולהוביל עד למוות. המינון המותר הוא שלושה גרם ביממה, 500 מ"ג בכל ארבע שעות. זו אחת הסיבות לכך שמשרד הבריאות פסל בקשת חברת תרופות לשיווק פראצטמול במינון של 1,000 מ"ג לטבלייה, בשל החשש ממינון עודף מסוכן.

פראצטמול מסוכן גם בשילוב עם אלכוהול, תרופות ללחץ דם, מיץ אשכוליות או תוספי תזונה המכילים היפריקום: שילוב שכזה עלול אף הוא לגרום לפגיעה בכבד.

דיפירון: פגיעה במח העצם

דיפירון היא אחת התרופות הביתיות החזקות לשיכוך כאבים המשווקת בישראל. שמה הגנרי (הכימי) של התרופה הוא דיפירון, חיבור של הקידומת דה (נגד), ופיירטיקה (חום). חרף יעילותה הרבה, התרופה נאסרה לשיווק בארצות הברית כבר בשנות ה-70. הסיבה: מחקרים גילו ששימוש ממושך עלול לדכא את פעילות מח העצם, "בית החרושת" של תאי הדם שלנו.

התרופה המוכרת בארץ גם בשמות אופטלגין, נובאלגין ופנאלגין גרמה להתפתחות מחסור בתאי דם לבנים אצל המשתמשים, מה שחשף את גופם לזיהומים קשים עד כדי סכנת חיים. בשלהי שנות ה-80 גילתה האגודה הבינלאומית לאנמיה שהתופעה הזו עלולה להתפתח גם אחרי שימוש של שבוע אחד בלבד בדיפירון. מחקרים נוספים בגרמניה גילו שאחד מכל 30 אלף משתמשים בתרופה עלול לפתח את המחסור בכדוריות הדם הלבנות.

גם יוצאי לוב, עיראק וארצות ערב נוספות חשופים לסכנה עקב השימוש בתרופה: רבים מהם סובלים מחסר באנזים הקרוי G6PD. די בנטילת כדור אחד של דיפירון כדי לגרום במקרים מסויימים להרס כדוריות הדם, אובדן הכרה, פרכוסים ואף מוות. כאמור, שיווק התרופה נאסר בארצות הברית, וגם בבריטניה ובמדינות מערביות נוספות, אך בישראל סבור משרד הבריאות שהתרופה הפופולרית בטוחה ומאשר את שיווקה לכל דורש - גם ללא מרשם רופא.

אספירין: ותיקה אך לא בטוחה

אספירין הוא אחד ההמצאות הגדולות בתולדות הרפואה. סוד הקסם האמיתי של החומצה הסליצילית - המרכיב העיקרי בתרופה, התגלה במרוצת השנים, לא רק כתרופה יעילה להורדת חום ושיכוך כאבים, אלא גם באפקט דילול הדם המונע התקפי לב ושבץ מוחי ובאחרונה התגלתה גם יכולתה של התרופה למנוע מחלות סרטן. אולם השימוש באספירין אינו נטול סכנות אף שניתן למצוא אותו כיום גם ללא מרשם רופא.

כבר בשנת 400 לפנה"ס הרופא היווני היפוקרטס, אבי הרפואה, רשם למטופליו תרופה להקלת כאב וחום שנרקחה מעלי עץ ערבה, שעשיר בחומר סליצין. באוגוסט 1897 הצליח הכימיאי הגרמני פליקס הופמן לסנתז חומר שהורכב מאותו סליצין, והצליח לשכנע את חברת באייר לשווק אותו. ב-1915 אושר האספירין לשיווק גם ללא מרשם רופא.

האספירין מעכב שני אנזימים: האחד נקרא Cox-1 והוא אחראי על ייצור הריר (ששמו מוצין) המגן על דופן הקיבה. השני נקרא Cox-2 והוא מווסת חומר כימי ששמו פרוסטגלנדין, שמווסת את חום הגוף, תחושת כאב ודלקת. בשנים האחרונות נמצא שהאפקט המגן של האספירין מתבטא בשני מישורים: הוא לא רק מסייע לדילול הדם, אלא גם מפחית את התהליך הדלקתי שנוצר בכלי הדם ותורם לחסימות בהם, מה שעלול לגרום להתקף לב ולשבץ מוחי.

כיום רושמים הרופאים אספירין לרוב החולים שנמצאים בסיכון גבוה למחלות לב וכלי דם: אלה שסובלים מיתר לחץ דם, סוכרת, השמנה, רמות גבוהות של כולסטרול, עישון או היסטוריה משפחתית של המחלות האלה. מחקרים רבים מצאו שאספירין מאריך תוחלת חיים ומונע תמותה. אחד המחקרים האחרונים, שפורסם השנה בארצות הברית, מצא שהאספירין מגן מפני מוות ממחלות לב וסרטן בעשרות אחוזים, גם שנים אחרי תחילת הטיפול.

אבל השימוש באספירין עלול להיות מסוכן מאוד. אחת מתופעות הלוואי העיקריות של משפחת התרופות נוגדות הדלקת שאינן סטרואידים היא נטייתן לגרות את הקיבה ולגרום לכיב ולדימום, משום שהן מעכבות, כאמור, את האנזים Cox-1 האחראי על ייצור הריר שמגן על הקיבה. מסיבה זו מומלץ ליטול אספירין אחרי האוכל (על קיבה מלאה). אספירין עלול גם לגרום למחלת ריי הנדירה, שגורמת לפגיעה מוחית ולפגיעה בכבד. מסיבה זו אסור לתת אספירין לילדים מתחת לגיל 12.


אספירין עלול גם להתנגש עם התרופות הבאות:

נוגדי קרישה: אספירין עלול להגביר את פעילותם של נוגדי קרישה ולהגדיל את סכנת הדימומים. נוגדי חומצה: בניגוד לאספירין הרגיל, אסור ליטול אספירין מצופה יחד עם תרופות נוגדות חומציות בקיבה (כמו זנטק או לוסאק), משום שהפחתת החומציות בקיבה פוגעת בפירוק הציפוי של התרופה ובשחרור האספירין לדם.
קורטיקו-סטרואידים: עלולים להגביר את סכנת גירוי הקיבה ואת הסיכון לכיב קיבה.
תרופות לשיגדון (מחלת גאוט): אספירין מעכב את פעילות התרופה אלופורינול ומקטין את הריכוז שלה בדם.
תרופות משתנות: אספירין יכול להפחית את הריכוז בדם של התרופה המשתנת אלדקטון, שניתנת לחולי אי ספיקת לב.
פנוברביטל: ריכוז תרופה זו שמיועדת לטיפול בפרכוסים עלול לרדת בנטילה עם אספירין.
פניטואין: רמות תרופה זו שמיועדת לטיפול בפרכוסים עלולות לעלות בנוכחות אספירין.


כך תיזהרו מתופעות הלוואי

אל תתביישו לשאול: מתפקידו של הרופא לציין בפניכם ממה עליכם להיזהר במהלך השימוש בתרופה.
ציינו בפני הרופא תרופות נוספות שאתם נוטלים: לעתים תגובות בין תרופתיות עלולות להפחית מיעילות התרופה, או לגרום לפעילות יתר שלה ולתופעות לוואי קשות.
הקפידו לקרוא את העלון המצורף: העלון כולל תופעות לוואי ידועות של התרופות, התוויות נגד למשתמשים מסוימים, כמו אנשים שסובלים מאלרגיות ורגישויות למרכיבים של התרופה, ותגובות בין-תרופתיות.
התאימו למשקל: כל תרופה צריכה להיות מותאמת למשקל המטופל. הדבר נכון בעיקר במתן תרופה לתינוקות וילדים. הקפידו שלא לעבור את המינון המומלץ המתאים למשקל המטופל.
דווחו על כל תופעת לוואי: נתקלתם בתופעת לוואי שהתחילה עם השימוש בתרופה? דווחו עליה לרופא והיוועצו בו באשר לצורך בהחלפת התרופה.
יש להקפיד שלא לעבור על המינון המותר, על פי משקל הילד או המבוגר.
אין ליטול את התרופה מעל שלושה ימים מבלי להיוועץ ברופא המטפל. יש להקפיד על מרווחים תקינים בין מנה למנה, של לא פחות משמונה שעות.
במקרה של קוצר נשימה, כאבים בחזה, חום גבוה שאינו מגיב לתרופה במשך יומיים, גרד, צהבת, כאבי בטן והקאות ממושכים, או ערפול ואובדן הכרה.

קישורים:

תרגיל פתור - אינדוקציה מתמטית - סכום סדרת ריבועי מספרים טבעיים עוקבים

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEUF7cGbtrkh2njJdZUvP3xnI94IVfnQJ794K_jqEX6LBfpSJDtHB-vK0cXx7tt6K8j0NvfiFQdvNf2Swwpg7kV0T1v9Yf4wbRg-96yVLY4ujX7U0BCq63VboNVgZFii1NXeMiFaS6vSwe/s1600/%25D7%2590%25D7%2599%25D7%25A0%25D7%2593%25D7%25953.png


יום ראשון, 20 במרץ 2011

בעיה פתורה בטריגונומטריה - בגרות קיץ 2006 3 יח'

שאלה

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQDJGAljGi2VT-0OREAPN6shTcl_IBOUF1alUy9vUk_JWUnSLwVgGetmqmgUqVvKjDSJsDShIuencqEofFI7qIG973gXvLCTrB9ZI6JC9frJouDP5eG4ASAkJU8mmVRQoAq9fo22LhpTlF/s1600/%25D7%2598%25D7%25A8%25D7%2599%25D7%2592%25D7%2595%25D7%25A0%25D7%2595%25D7%259E%25D7%2598%25D7%25A8%25D7%2599%25D7%2594.GIF

פתרון

א. אורכי הצלעות BC , CD:

BC = 12 * sin34 = 6.71
CD = 12 * cos34 = 9.95

ב. שטח המלבן ABCD הוא מכפלת צלעותיו BC ו- CD:
S = BC *CD = 6.71 *9.95 = 66.75


ג. אלכסוני המלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה.
ולכן OC = OD , מכאן שזויות ODC ו- OCD שוות ביניהן ול- 34 מעלות.

נסמן את זוית COD ב- x - סכום הזויות במשולש COD הוא 180 מעלות:
180 = 34 +34 + x

x = 112
זוית DOC שווה ל- 112 מעלות




יום שבת, 19 במרץ 2011

בעיה פתורה באלגברה - בגרות מתמטיקה 3 יח' - קיץ 2006

שאלה

ראובן שילם 44 שקלים בשביל 8 ק"ג אגסים ו– 5 ק"ג תפוחים.
כעבור שבוע עלה מחיר האגסים ב– 25% , ומחיר התפוחים לא השתנה.
לאחר עליית המחיר שילם ראובן 50 שקלים בשביל 8 ק"ג אגסים ו– 5 ק"ג תפוחים.
חשב את המחיר של ק"ג אגסים לפני שעלה המחיר שלהם

פתרון

נסמן ב- x - מחיר ק"ג אגסים לפני עליית המחיר שלהם.
נסמן ב- y - מחיר ק"ג תפוחים.

לפני עליית מחיר האגסים:
8x + 5y = 44

לאחר עליית מחיר האגסים ב- 25% , מחיר ק"ג אגסים הוא 1.25x.
1.25x * 8 + 5y = 50

ישנם 2 משוואות בשני נעלמים:

8x + 5y = 44
10x + 5y = 50

2x = 6

x = 3

y = 4


מחיר ק"ג אגסים לפני שעלה המחיר שלהם: 3 שקלים

יום שישי, 18 במרץ 2011

יום רביעי, 9 במרץ 2011

שאלה פתורה - הוכחת אי שוויון בדרך האינדוקציה - בגרות 5 יח' חורף 2006

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjA6io9MM7vkW-B5L0g5FZirL9LWC1ZaJzQEZiiWYOiAia-lWJs7Xgk64NjUExk6TRzeKs8ekOf-PesZgG7EYETrQvBi2b_Ny3PRfmE93K6a2PQTl07Wmb5B57aiCRjV3sHaXq_hcqsrzPs/s1600/%25D7%2590%25D7%2599%25D7%25A0%25D7%2593%25D7%2595%25D7%25A7%25D7%25A6%25D7%2599%25D7%2594+%25D7%2591%25D7%25A2%25D7%2599%25D7%2599%25D7%25AA+%25D7%2590%25D7%2599+%25D7%25A9%25D7%2595%25D7%2595%25D7%2599%25D7%2595%25D7%259F.gif

קישורים:

משפט: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת

משפט: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחתהוכחת המשפט

נתון:
AE = BE
AD = CD
BF = FC


צ"ל: תיכוני המשולש ABC נפגשים בנקודה אחת (התיכונים BD, AF, CE)

הוכחה:

BD ו- CE נפגשים בנקודה אחת O
ומתקיים BO = 2DO (עפ"י המשפט: כל שני תיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת שמחלקת כל אחד מהם ביחס של 2:1 כך שהחלק הארוך יותר קרוב לקודקוד).
עפ"י אותו משפט בדיוק BE ו- AF נפגשים בנקודה אחת ומתקיים:
BO = 2DO .
מכאן שזו אותה נקודה O.

מ.ש.ל.

קישורים:

שאלה פתורה אינדוקציה מתמטית הוכחת התחלקות - בגרות חורף 2005 , 5 יח'

תזכורת הוכחה באינדוקציה:
א. בדיקה עבור n=1,2,…t כלשהו (תלוי בטענה) (בדיקה).
ב. הנחת נכונות הטענה עבור k (הנחת האינדוקציה).
ג. הוכחה עבור n=k+1 (צעד האינדוקציה).

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTDBLKq-dJ9pB9FOVyPuNW_o8wn6wfYFF9v-jm4kGtVhwjFzyvxFYCHZXL5thhJvUjjzgMjl5MO1DmuHMBK32282tUAl_iRSA-EJ77gT35tkSPcEY02mNLfbE2T9tKksQS_YZucp5r3Y5B/s1600/%25D7%2590%25D7%2599%25D7%25A0%25D7%2593%25D7%2595%25D7%25A7%25D7%25A6%25D7%2599%25D7%2594+-+%25D7%2594%25D7%2595%25D7%259B%25D7%2597%25D7%25AA+%25D7%2594%25D7%25AA%25D7%2597%25D7%259C%25D7%25A7%25D7%2595%25D7%25AA.gif

יום שני, 7 במרץ 2011

משפט: שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת.


https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-Qq6915i0ww26gtcdQPxhZKiaAXESq30w7x8eV34Z2MUiEGwMTtZdeABQlhygDZMsW_Up7clRbjJSMaVGF1lUGztaxMoL53qsGlFTUEGhnmBXvKZOHt-qJ5WXvGQaoHVvMemG9Hv2e0Oo/s1600/%25D7%25A9%25D7%259C%25D7%25A9%25D7%25AA+%25D7%2590%25D7%25A0%25D7%259B%25D7%2599%25D7%259D+%25D7%2590%25D7%259E%25D7%25A6%25D7%25A2%25D7%2599%25D7%2599%25D7%259D+%25D7%2591%25D7%259E%25D7%25A9%25D7%2595%25D7%259C%25D7%25A9+%25D7%25A0%25D7%25A4%25D7%2592%25D7%25A9%25D7%2599%25D7%259D+%25D7%2591%25D7%25A0%25D7%25A7%25D7%2595%25D7%2593%25D7%2594+%25D7%2590%25D7%2597%25D7%25AA.gif

משפט: כל שני אנכים אמצעיים לצלעות במשולש נחתכים

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgF1-ZgPWkYflMlqRpxXEqT3zxjek1Xi1ktlKNyt_434pekyr60plAOLRSOiBwKOrOsdJadFfT0JryLnLi7BbjYQmoGWDIfcuoV__foYxbKb_X77w62yP5yY08FiWFoUPdT44iDUkG_unZf/s1600/%25D7%2590%25D7%25A0%25D7%259B%25D7%2599%25D7%259D+%25D7%2590%25D7%259E%25D7%25A6%25D7%25A2%25D7%2599%25D7%2599%25D7%259D+%25D7%2591%25D7%259E%25D7%25A9%25D7%2595%25D7%259C%25D7%25A9+%25D7%25A0%25D7%2597%25D7%25AA%25D7%259B%25D7%2599%25D7%259D.gif


שאלה באלגברה - מתוך בגרות 3 יח' מועד ב' 2006

שאלה
המשכורת של יוסף היתה גדולה ב- 1050 שקלים מהמשכורת של דוד. לאחר שהמשכורת של דוד עלתה ב- 15% קיבלו יוסף ודוד משכורת זהה.

חשב את המשכורת של יוסף.

פתרון

נסמן ב- x את המשכורת של דוד לפני שעלתה.
המשכורת של יוסף גדולה ב- 1,050 שקלים: x + 1050

המשכורת של דוד לאחר עליה ב- 15%: 1.15x
לאחר שהמשכורת של דוד עלתה ב- 15% קיבלו יוסף ודוד משכורת זהה: 1.15x = x +1050

0.15x = 1050
x = 7,000
המשכורת של דוד לפני שעלתה 7,000 שקלים, ושל יוסף גדולה ב- 1,050: 8,050 שקלים

המשכורת של יוסף: 8,050 שקלים

תרגיל פתור באינדוקציה מתמטית סכום ריבועי איברי טור חשבוני עולה

תזכורת הוכחה באינדוקציה:

א. בדיקה עבור n=1,2,…t כלשהו (תלוי בטענה) (בדיקה).
ב. הנחת נכונות הטענה עבור k (הנחת האינדוקציה).
ג. הוכחה עבור n=k+1 (צעד האינדוקציה).

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheCBc1SjKxFdOendTy3oU3LMvFBsd5v-rxwUh9GxDNlVA08MGqvxMHpEZMLfCJcnfA6w58dFeRThiyWZk5tGYxuOFVwE2G0vDZOKHtU228zzgG2QchdRe9HTLNETV7cCtaCjZsTW_VYB37/s1600/%25D7%2590%25D7%2599%25D7%25A0%25D7%2593%25D7%2595%25D7%25A7%25D7%25A6%25D7%2599%25D7%2594.GIF

קישורים:

משפט: קטע במשולש המחבר שתי צלעות ומקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש.

יום ראשון, 6 במרץ 2011

משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת.

משפט: שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת.
שיטת ההוכחה: נקודת מפגש של שני חוצי זויות המשולש היא O, מוכיחים שמוצה זוית שלישית עובר דרך נקודה O.

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj17vmLAEe7Jogwn_VfPi7ImHrf1bb_UR6gMz0VfiycqCEiT_9h6SoPc9M7T8HtlNg3HrUDInlVLkK9r8SeprD8cqkhxm8iVEg-4JtsrL-jN1mbhI8CDHSly-tUwUQ1fMKwHZdTrn2cjyap/s1600/%25D7%2597%25D7%2595%25D7%25A6%25D7%2599+%25D7%2596%25D7%2595%25D7%2599%25D7%25AA+%25D7%259E%25D7%25A9%25D7%2595%25D7%259C%25D7%25A9+%25D7%25A0%25D7%25A4%25D7%2592%25D7%25A9%25D7%2599%25D7%259D+%25D7%2591%25D7%25A0%25D7%25A7%25D7%2595%25D7%2593%25D7%2594+%25D7%2590%25D7%2597%25D7%25AA.gif
קישורים:

הוכחת משפט בגיאומטריה: שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת


https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4ZjDv3g2IHxWLf00uG8YEQcmHjKBgRCO7fw1A3kJ-YBiqIG4Ce2QWdLi02WR0qDl5eZ5uQBc847qunneZCXZ4gZNmpacDpZ1QkiJg2W1jLq1AEKLDXs0Loy9q7YmbPYi_UdQuOklteB9U/s1600/%25D7%259E%25D7%25A9%25D7%25A4%25D7%2598+-+%25D7%25A9%25D7%259C%25D7%2595%25D7%25A9%25D7%25AA+%25D7%2594%25D7%2590%25D7%25A0%25D7%259B%25D7%2599%25D7%259D+%25D7%2591%25D7%259E%25D7%25A9%25D7%2595%25D7%259C%25D7%25A9+%25D7%25A0%25D7%25A4%25D7%2592%25D7%25A9%25D7%2599%25D7%259D+%25D7%2591%25D7%25A0%25D7%25A7%25D7%2595%25D7%2593%25D7%2594+%25D7%2590%25D7%2597%25D7%25AA.gif

שאלה פתורה באינדוקציה מתמטית - סכום טור חשבוני שאיברו הראשון 1 והפרשו 1


https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8xxvEhL-YrZbQDxFsypduBt659SN4RxTuUwQWzFxFUS7xQDTZ8D25ko-1Qy3t7DB8lcEDUkNQPjTZI6p1j7ISkG5q7zsF99_XNU6nc004qWQIEEGfpOMn9ESpB4NHtXTgAgN5vxgdn-pE/s1600/%25D7%2590%25D7%2599%25D7%25A0%25D7%2593%25D7%2595%25D7%25A7%25D7%25A6%25D7%2599%25D7%2594.GIF

יום שישי, 4 במרץ 2011

שאלה פתורה סדרות חשבוניות מתוך בגרות 3 יח' - קיץ 2007


פתרון

סעיף א

הפרש סדרה חשבונית מוגדר כהפרש בין שני איברים בה.

d = an – an-1

נסמן את הפרש הסדרה הראשונה d1 , ואת הפרש הסרה השניה d2

הפרש הסדרה הראשונה:

d1 = 9 – 6 = 3

הפרש הסדרה השניה:

d2 = 159 – 161 = -2

סעיף ב

לשתי הסדרות אותו מספר איברים נסמנו ב- n , והאבר האחרון בשתי הסדרות זהה, נסמנו ב- an.

נוסחת האיבר ה- nי של סדרה חשבונית:

an = a1 + d(n-1)

נפעיל את הנוסחה של שתי הסדרות

עבור הסדרה הראשונה קיבלנו: an = 6 + 3(n-1)

עבור הסדרה השניה קיבלנו: an = 161 - 2(n-1)

קיבלנו 2 משוואות עם 2 נעלמים:

an = 3 +3n

an = 163 -2n

3 + 3n = 163 – 2n

5n = 160

n = 32

an = 3 + 3n = 99

יום שלישי, 1 במרץ 2011

בעיה פתורה אלגברה פונקציה ריבועית - בגרות 3 יחידות מתמטיקה

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSgzd-J8ZTE8A6AJ72RDH3z8mDQ9yEIboZeOKPQUldJsu6JB6J9OsYg7ZxXw_t3hjoyHRAPT2oOtIyuKUY3uTOSVNXwmCD8s1UHpgyYB4FtbAzglhuGjPEcVh1hQmVAps5xmhyphenhyphenfZ5s-wTH/s1600/%25D7%25A9%25D7%2590%25D7%259C%25D7%2594+%25D7%25A4%25D7%2595%25D7%25A0%25D7%25A7%25D7%25A6%25D7%2599%25D7%2594+%25D7%25A8%25D7%2599%25D7%2591%25D7%2595%25D7%25A2%25D7%2599%25D7%25AA.GIF

פתרון

סעיף א

נתונה הפונקציה הריבועית y = x2 + 6x + 9

למציאת נקודות חיתוך (נקודות משותפות) של הפרבולה עם ציר x נציב בפונקציה y = 0.

x2 + 6x + 9= 0

(x + 3)2 = 0

לפונקציה פתרון אחד, הפרבולה משיקה לציר x בנקודה:

x = -3

סעיף ב

נקודת חיתוך עם ציר y , כאשר x = 0 :

y = x2 + 6x + 9

מציבים x = 0:

y = 9

סעיף ג

המרחק בין ראשית הצירים לנקודה משותפת של גרף הפונקציה עם ציר y:

ראשית הצירים היא הנקודה (0, 0).

נקודה משותפת של גרף הפונקציה עם ציר y, מצאנו בסעיף ב לעיל הנקודה: (0, 9)

המרחק בין הנקודות (0, 0), ו-(0, 9) הוא 9 יחידות