הוכחת משפט: כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זהה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהקטע הקרוב לצלע.

הוכחת משפט הפוך קטע אמצעים במשולש: קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית הוא קטע אמצעים במשולש.

גיאומטריה - הוכחת המשפט: אם בטרפז הזוויות שליד אחד הבסיסים שוות זו לזו אז הטרפז שווה שוקיים

שאלה פתורה בחישוב נוסחאות ופונקציות - מתוך בגרות 3 יח' חורף 2007

פתרון

הנוסחה לחישוב מעלות צלזיוס (C) כפונציה של מעלות פרנהייט (F) נתונה: C = (5F - 160)/9.

סעיף א
עבור טמפרטורה של 212 מעלות פרנהייט F = 212 , נציב בנוסחה ונקבל:

C = (5F - 160)/9 = (5*212 - 160)/9 = 100

כלומר 212 מעלות פרנהייט הם 100 מעלות צלזיוס (נקודת רתיחה של מים)


סעיף ב

למציאת הטמפרטורה שבה F=C נניח כי הם שווים ל- x כלשהוא כלומר F=C=x

נציב בנוסחה את x:

x = (5x - 160)/9
9x = 5x - 160
4x = 160
x =40

כלומר בטמפרטורה 40 מעלות פרנהייט היא גם (זהה) ל- 40 מעלות צלזיוס


סעיף ג

נמצא מעלות פרנהייט כפונקציה של צלזיוס, כלומר F כפונציה של C.
נתון כי C = (5F - 160)/9

9C = 5F - 160
9C +160 = 5F
F = (9C +160)/5

תרגיל פתור - משוואת ישר במערכת צירים ע"פ שיפוע ונק' על ציר Y - מתוך בגרות 3 יח' חורף 2007

בעית גרף פתורה - מתמטיקה 3 יחידות - חורף 2007

פתרון

סעיף א
המחיר שחברת הטלפונים גובה עבור כמות שיחות עד מאה בחודש הוא 60 שקלים, רואים זאת בקטע הגרף הראשון של עלות צריכת הפעימות המקביל לציר X .

סעיף ב
כמה שקלים מוסיפים עבור כל פעימת מונה בין 100 ל- 175.
קטע הגרף האמצעי בין 100 ל- 175 מתאר את העלות עבור הפעימות בשאלה.
שיפוע הגרף בקטע האמצעי הוא עלות תוספת עבור על פעימת מונה בקטע בין 100 ל- 175 פעימות.

השקלים שמוסיפים לחשבון הטלפון בתחום פעימות בין 100 ל- 175=
= (175-100)/(120-60) = 0.8 שקלים

פתרון בעיה בטריגונומטריה - שטח מעוין - מתוך בגרות 3 יח' חורף 2007

סיפור עובד זר ותיק בבית יעקב וינשטיין - מנהל השקעות ראשי במגדל שוקי הון

רשת ב - פברואר 2011 - יעקב וינשטיין מנהל שקעות ראשי במגדל שוקי הון (שכר חודשי של כ- 700,000 שקלים בחודש) העסיק לכאורה עובד זר ללא רישיון לעבודות ביתו במשך 16 שנה.

בוקר אחד מסר וינשטיין לעובד 300 לירות סטרלינג (פאונד) ופיטר אותו.

כשפנה העובד בעניין פיטוריו לעמותת קו לעובד, עצרה אותו בביתו רשות ההגירה בתוך 4 ימים וכלאה אותו בכלא גבעון.
.

.
הכתבה עובד זר פיליפיני תובע 200 אלף שקל מיעקב וינשטיין , The marke , עידו סלומון , 28.02.2011

העובד הזר טוען כי הועסק 14 שנה בעבודות ניקיון בבית המשפחה בכפר שמריהו וכשפנה לעזרה - נעצר

לרשימת הנחשדים בהעסקת עובד זר בביתם ללא היתר נוסף בסוף השבוע שם חדש: יעקב וינשטיין, מנהל ההשקעות הראשי בבית ההשקעות מגדל שוקי הון. מורילו רוגליו, עובד זר מהפיליפינים, טוען כי הועסק במשך כ-14 שנה בעבודות ניקיון בבית משפחת וינשטיין בכפר שמריהו. לטענתו, בסוף ינואר פיטר אותו ויינשטיין - והציע לו 300 ליש"ט כפיצויים. העובד פנה לקו לעובד בבקשה לסיוע, הארגון פנה לוינשטיין, וזה הפנה לעורך דינו. כמה ימים לאחר מכן נעצר רוגליו בידי שוטרי מינהלת ההגירה, אך עורך הדין של וינשטיין טרם חזר לקו לעובד.

מתצהיר שיוגש הבוקר לבית הדין האזורי לעבודה בתל אביב עולה כי בתחילה היה שכרו של רוגליו 800 דולר בחודש, והוא קיבל 200 שקל בכל סוף שבוע. מ-2002 ירד שכרו ל-600 דולר בחודש, ועוד 500 שקל בסופי השבוע. במהלך כל התקופה עד לפיטוריו עבד בניקיון, בבישול ובגיהוץ בבית המשפחה במשך חמישה ימים בשבוע, משבע בבוקר עד ארבע אחר הצהריים. הוא המשיך לעבוד גם בשעות הערב אם מעסיקו אירח בביתו. בתצהיר נטען כי במשך כל תקופת העסקתו, שהיתה ללא אשרת עבודה, לא קיבל רוגליו דמי הבראה, דמי חופשה, תשלום עבור שעות נוספות או עבור עבודה בימי מנוחה. בתביעה יבקש העובד מבית הדין לפסוק לו פיצויים בסך כולל של כ-200 אלף שקל.

עו"ד עידית לבוביץ' מקו לעובד: "ב-20.2 שוחחתי עם מר וינשטיין, שאמר שיעביר את העניין לטיפול עורך דינו, וארבעה ימים לאחר מכן נעצר העובד. אנו מקווים שמעסיקים בישראל יבינו שזכויות העובד אינן תלויות במעמדו החוקי, ושמאסר של עובדים על ידי יחידת עוז לא יגן עליהם מפני תשלום חובותיהם לעובדים".

ממגדל שוקי הון נמסר כי מדובר במקרה פרטי וכי יש לפנות לוינשטיין עצמו לתגובה.

וינשטיין לא הסכים להעביר את תגובתו לדברים.

גיאומטריה - מלבן חסום במעגל - תרגיל פתור

גיאומטריה - המעגל - מושגים בסיסיים

קטעים במעגל

קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר.

רדיוס (מחוג) הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה הנמצאת על שפת
המעגל. אורכו מסומן באות R (או r).

מיתר העובר דרך מרכז המעגל נקרא קוטר (מסומן באות d, או D), ואורכו שווה לפעמיים רדיוס
המעגל, כלומר D=2R.




ישרים ומעגל
לישר ולמעגל עשויות להיות 2 נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת או שאין
נקודות חיתוך בכלל.

חותך למעגל, משיק, וחיצוני למעגל
א. אם לישר יש שתי נקודות חיתוך עם המעגל, אז הוא נקרא חותך למעגל.
ב. אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל, אז הוא נקרא משיק למעגל.
ג. אם לישר אין נקודות חיתוך עם המעגל, אז הוא נקרא ישר חיצוני (זר)
למעגל.


זוויות
זווית שקודקודה במרכז המעגל נקראת זווית מרכזית (שוקיה הם שני רדיוסים
במעגל)
זווית שקודקודה על היקף המעגל נקראת זווית היקפית (שוקיה הם שני
מיתרים במעגל).
זווית שקודקודה בתוך שטח המעגל נקראת זווית פנימית (שוקיה הם שני חלקי
מיתרים במעגל).
זווית שקודקודה מחוץ לשטח המעגל נקראת זווית חיצונית (שוקיה הם שני
חותכים למעגל).

קשתות
שתי נקודות על שפת המעגל תוחמות ביניהן חלק מהיקף המעגל, הנקרא קשת. מאחר שנוצרות שתי קשתות, נהוג להתייחס לקשת הקטנה ביניהן (אלא אם נאמר אחרת; אם הקשתות שוות נדרש מידע נוסף)

נהוג לומר שגודל הקשת במעלות שווה לזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. עם זאת, יש לציין כי הגודל הנ"ל מהווה מדד לחלק של הקשת מתוך כל המעגל וכי מדידת אורך הקשת נעשית ברדיאנים.

המעגל מהווה את שפת העיגול, כלומר מעגל הוא הקו התוחם את שטח העיגול.

תרגיל בגיאומטריה - טרפז ישר זוית

פתרון סעיף א



פתרון סעיף ב

זריקה אנכית של שתי אבנים - בגרות פיסיקה 5 יחידות

פתרון

1. גוף הנע בתנועה שוות תאוצה a, במהירות התחלתית V₀ , הדרך כפונקציה של הזמן x(t), נתונה בנוסחה:

x(t) = V₀t + ½at²

במקרה בשאלה האבן נזרקה מהקרקע במהירות התחלתית V₁ ,

תאוצה כלפי הקרקע, כיוון שלילי של y : a = -g = שנ²/מ -9.8

התנועה השוות תאוצה של האבן:

y₁(t) = V₁t - ½gt²

2. האבן השניה נזרקה מהקרקע כלפי מעלה במהירות V₂ , כעבור זמן T:

משוואת התנועה של האבן השניה תהיה כמו הראשונה אלא ש- t כנדרש החל מרגע T:

y₂(t) = V₂(t-T) - ½g(t-T)²

3. נציב כנדרש בשאלה V₁= 10_m/s , V₂= 12_m/s , T=0.5_s , האבנים תחלופנה אחת ליד השניה כאשר: y₁(t) = y₂(t-T) - כאן t החל מרגע זריקת האבן הראשונה)

או בהצבה: = V₂(t-T) - ½g(t-T)² V₁t - ½gt²

= 12(t-0.5) - ½g(t-0.5)² 10t - ½gt²

= 12t - 6 - ½gt² + ½g -0.125g 10t - ½gt²

= 12t - 6 + 0.375g 10t

t = 1.125_sec

4. האבנים פוגעות בקרקע כאשר המרחק שעברו שווה 0.

עבור האבן הראשונה: (הפתרון t=0 אינו נדרש מאחר ומייצג את רגע הזריקה)

y₁(t) = 10t - ½gt² =0

10 = ½gt

t= 2_sec

עבור האבן השניה (הפתרון t=0.5 אינו נדרש מאחר ומייצג את רגע הזריקה)

0= 12(t-0.5) - ½g(t-0.5)²

12 = ½g(t-0.5)

t = 2.9_sec

האבן השניה תפגע בקרקע 2.9-2=0.9_sec לאחר האבן הראשונה

5. שרטוט הסקיצה

לשרטוט הסקיצה נציג תחילה את משוואות התנועה של כל אחד מהאבנים ונקודות חשובות. גרף מרחק התנועה כפונקציה של הזמן הוא פרבולה מאחר ומשוואת המרחק היא ריבועית.

y₁(t)= 10t - ½gt² = 10t – 5t²

y₂(t)= 12(t-0.5) - ½g(t-0.5)² =12(t-0.5) - 5(t-0.5)²

להלן גרף נוסף