הוכח כי הגובה ליתר במשולש ישר זווית שווה למכפלת הניצבים לחלק ליתר

נתון משולש ישר זווית ABC , זווית ACB ישרה

נדרש להוכיח כי הגובה ליתר h שווה למכפלת הניצבים a,b לחלק ביתר c
או: h=ab/c

הוכחה

נחשב את שטח המשולש בשני דרכים ונשווה ביניהם:

שטח המשולש הוא מחצית מכפלת הניצבים: S=ab/2

שטח המשולש מחושב גם כמחצית מכפלת היתר בגובה ליתר: S=ch/2

לכן: ab/2=ch/2
ab=ch

לכן הגובה ליתר: h=ab/c

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה: הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר

הוכחת משפט בגיאומטריה: הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר

חידה מתמטית - כיצד זה יתכן?

המשולשים מורכבים מארבעה חלקים זהים אשר שינו מקומם. מאין אם כן הופיע ה"חור" במשולש התחתון

בעיה פתורה בגיאומטריה: שני מלבנים זהים ומשולש ישר זווית שווה שוקיים

המרובעים ABCD ו- EFCG הם מלבנים.
נתון BC = CG , FC = DC

הוכח המשולש ACE הוא ישר זווית ושווה שוקיים

הוכחה:
השיטה: מבצעים חפיפת משולשים ABC ו- CFE. מהחפיפה נועים שוויונות הצלעות AC, EF וסכום הזוויות ACB, ECF תשעים מעלות.

חפיפת משולשים ABC ו- CFE
1. CD = AB - צלעות נגדיות במלבן ABCD שוות
2. CD = FC - נתון
3. AB = FC - נובע מ- 1 ו-2

4. CG = AB - צלעות נגדיות במלבן EFCG שוות
5. CG = BC - נתון
6. AB = BC - נובע מ-4 ו-5

7. זווית ABC = זווית EFC = זוויות ישרה - כל הזוויות במלבן ישרות

8. משוויונים 3,6,7 נובע כי משולש ABC חופף למשולש CFE צ.ז.צ

מהחפיפה נובע:
EC = AC - מ.ש.ל. 1

9. זווית FCE = זווית CAB - נובע מהחפיפה 8
10. זווית ACB + זווית CAB = זווית ישרה - סכום הזוויות החדות במשולש ישר זוית ABC שווה 90 מעלות
מ-9 ו- 10 נובע:
11. זווית ACB + זווית FCE = זווית ACE = זווית ישרה - הצבה - מ.ש.ל 5

הוכחת משפט בגיאומטריה: שטח דלתון מחושב כמחצית מכפלת האלכסונים

דלתון עם אלכסוניו

נתון מרובע ABCD דלתון (AB = AD, BC = CD)
אלכסון ראשי AC = a = a1 +a2
אלכסון משני BD = b
נקודה O - נקודת מפגש אלכסוני הדלתון

צריך להוכיח: שטח הדלתון (S) שווה למחצית מכפלת האלכסונים.
כלומר: S = a*b/2

הוכחה:
האלכסון המשני BD = b מחלק את הדלתון לשני משולשים שווי שוקיים ABD, ו- BCD.
כמו כן האלכסונים בדלתון מאונכים אחד לשני, לכן AO=a1 הוא גובה המשולש ABD, ו- CO = a2 הוא גובה המשולש BCD.

שטח המשולש ABD: (בסיס כפול גובה לחלק לשתיים)
S1 = a1*b/2

שטח המשולש BCD:
S2 = a2*b/2

שטח הדלתון הוא סכום שטחי המשולשים ABD, ו- BCD.
או :
S = S1 + S2 = a1*b/2 + a2*b/2 = a*b/2

מ.ש.ל

דלתון - מונחים ותכונות

דלתון - מרובע שיש לו שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות השוות זו לזו.

קדקוד הנמצא בין שתי צלעות שוות של הדלתון נקרא קדקוד ראש.

דלתון קמור ודלתון קעור


לדלתון יש אם כן שני קדקודי ראש.
זווית הדלתון שקדקודה הוא "קדקוד ראש" נקראת "זווית ראש"

האלכסון המחבר את שני קדקודי הראש של הדלתון נקרא אלכסון ראשי ואילו האלכסון האחר נקרא אלכסון משני.



תכונות של דלתון:

הזוויות הצדדיות בדלתון שוות זו לזו.
האלכסונים מאונכים זה לזה.
האלכסון הראשי חוצה את שתי זוויות הראש.
האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני.
האלכסון הראשי מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים.
סימטריה שיקופית ביחס לאלכסון הראשי.
האלכסון המשני יוצר בדלתון שני משולשים שווי-שוקיים שבסיסם המשותף הוא האלכסון המשני. (כשדלתון איננו קמור, משולש אחד נמצא בתוך המשולש האחר.)
שטח דלתון מחושב כמחצית מכפלת האלכסונים

הוכחת משפט בגיאומטריה: האלכסון הראשי מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים

דלתון ואלכסונו הראשי

נתון מרובע ABCD דלתון, AB = AD, BC = CD

צריך להוכיח: משולש ABC חופף למשולש ADC

הוכחה:

בניית עזר: בונים את האלכסון הראשי AC.

חפיפת משולשים ABC, ADC:
AB = AD - נתון, נובע מהגדרת הדלתון
BC = CD - נתון, נובע מהגדרת הדלתון
AC = AC - צלע משותפת
מכאן נובע:
משולש ABC חופף למשולש ADC - צ.צ.צ

מ.ש.ל